ГДЗ: Упражнение 811 - § 46 (Производная) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Нахождение производной \( f'(x) \) (Правило произведения и цепное правило)

• Используем правило произведения \( (u v)' = u' v + u v' \), где \( u = (x - 1)^6 \) и \( v = (2 - x)^7 \).

• Находим производные \( u' \) и \( v' \) с помощью цепного правила:
  \( u' = \left( (x - 1)^6 \right)' = 6 (x - 1)^5 \cdot (x - 1)' = 6 (x - 1)^5 \cdot 1 = 6 (x - 1)^5 \).
  \( v' = \left( (2 - x)^7 \right)' = 7 (2 - x)^6 \cdot (2 - x)' = 7 (2 - x)^6 \cdot (-1) = -7 (2 - x)^6 \).

• Собираем \( f'(x) \):
  \( f'(x) = u' v + u v' = 6 (x - 1)^5 (2 - x)^7 + (x - 1)^6 \left( -7 (2 - x)^6 \right) \).

• Выносим общие множители \( (x - 1)^5 (2 - x)^6 \):
  \( f'(x) = (x - 1)^5 (2 - x)^6 \left[ 6 (2 - x)^1 - 7 (x - 1)^1 \right] \).

Шаг 2: Вычисление \( f'(1) \)

• Подставляем \( x = 1 \) в выражение для \( f'(x) \):
  \( f'(1) = (1 - 1)^5 (2 - 1)^6 \left[ 6 (2 - 1) - 7 (1 - 1) \right] \).

• Замечаем, что \( (1 - 1)^5 = 0^5 = 0 \).
  \( f'(1) = 0 \cdot (2 - 1)^6 \left[ ... \right] = 0 \).

Ответ: \( f'(1) = 0 \).

Шаг 1: Нахождение производной \( f'(x) \)

• Используем правило произведения \( (u v)' = u' v + u v' \), где \( u = (2x - 1)^6 \) и \( v = (1 + x)^4 \).

• Находим производные \( u' \) и \( v' \) (цепное правило):
  \( u' = 6 (2x - 1)^5 \cdot (2x - 1)' = 6 (2x - 1)^5 \cdot 2 = 12 (2x - 1)^5 \).
  \( v' = 4 (1 + x)^3 \cdot (1 + x)' = 4 (1 + x)^3 \cdot 1 = 4 (1 + x)^3 \).

• Собираем \( f'(x) \):
  \( f'(x) = 12 (2x - 1)^5 (1 + x)^4 + (2x - 1)^6 4 (1 + x)^3 \).

Шаг 2: Вычисление \( f'(1) \)

• Подставляем \( x = 1 \) в выражение для \( f'(x) \):
  \( f'(1) = 12 (2(1) - 1)^5 (1 + 1)^4 + (2(1) - 1)^6 4 (1 + 1)^3 \).

• Вычисляем значения скобок:
  \( (2(1) - 1) = 1 \).
  \( (1 + 1) = 2 \).

• Подставляем:
  \( f'(1) = 12 (1)^5 (2)^4 + (1)^6 4 (2)^3 \).
  \( f'(1) = 12 \cdot 1 \cdot 16 + 1 \cdot 4 \cdot 8 \).

• Производим умножение:
  \( f'(1) = 192 + 32 = 224 \).

Ответ: \( f'(1) = 224 \).

Шаг 1: Нахождение производной \( f'(x) \)

• Используем правило произведения \( (u v)' = u' v + u v' \), где \( u = \sqrt{2 - x} = (2 - x)^{\frac{1}{2}} \) и \( v = (3 - 2x)^8 \).

• Находим производные \( u' \) и \( v' \):
  \( u' = \left( (2 - x)^{\frac{1}{2}} \right)' = \frac{1}{2} (2 - x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (2 - x)' = \frac{1}{2\sqrt{2 - x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{2 - x}} \).
  \( v' = \left( (3 - 2x)^8 \right)' = 8 (3 - 2x)^7 \cdot (3 - 2x)' = 8 (3 - 2x)^7 \cdot (-2) = -16 (3 - 2x)^7 \).

• Собираем \( f'(x) \):
  \( f'(x) = \left( -\frac{1}{2\sqrt{2 - x}} \right) (3 - 2x)^8 + \sqrt{2 - x} \left( -16 (3 - 2x)^7 \right) \).

Шаг 2: Вычисление \( f'(1) \)

• Подставляем \( x = 1 \) в выражение:
  \( f'(1) = \left( -\frac{1}{2\sqrt{2 - 1}} \right) (3 - 2(1))^8 + \sqrt{2 - 1} \left( -16 (3 - 2(1))^7 \right) \).

• Вычисляем:
  \( \sqrt{2 - 1} = \sqrt{1} = 1 \).
  \( (3 - 2(1)) = 1 \).

• Подставляем:
  \( f'(1) = \left( -\frac{1}{2\sqrt{1}} \right) (1)^8 + (1) \left( -16 (1)^7 \right) \).
  \( f'(1) = -\frac{1}{2} \cdot 1 + 1 \cdot (-16) \).
  \( f'(1) = -\frac{1}{2} - 16 = -16,5 \).

Ответ: \( f'(1) = -16,5 \) или \( -\frac{33}{2} \).

Шаг 1: Нахождение производной \( f'(x) \)

• Используем правило произведения \( (u v)' = u' v + u v' \), где \( u = (5x - 4)^6 \) и \( v = \sqrt[3]{x - 2} = (x - 2)^{\frac{1}{3}} \).

• Находим производные \( u' \) и \( v' \):
  \( u' = \left( (5x - 4)^6 \right)' = 6 (5x - 4)^5 \cdot (5x - 4)' = 6 (5x - 4)^5 \cdot 5 = 30 (5x - 4)^5 \).
  \( v' = \left( (x - 2)^{\frac{1}{3}} \right)' = \frac{1}{3} (x - 2)^{\frac{1}{3} - 1} \cdot (x - 2)' = \frac{1}{3} (x - 2)^{-\frac{2}{3}} \cdot 1 = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x - 2)^2}} \).

Шаг 2: Вычисление \( f'(1) \)

• Подставляем \( x = 1 \) в выражения для \( u \), \( v \), \( u' \) и \( v' \):
  \( u(1) = (5(1) - 4)^6 = (1)^6 = 1 \).
  \( v(1) = \sqrt[3]{1 - 2} = \sqrt[3]{-1} = -1 \).
  \( u'(1) = 30 (5(1) - 4)^5 = 30 (1)^5 = 30 \).
  \( v'(1) = \frac{1}{3\sqrt[3]{(1 - 2)^2}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{(-1)^2}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{1}} = \frac{1}{3} \).

• Применяем правило произведения для точки \( x = 1 \):
  \( f'(1) = u'(1) v(1) + u(1) v'(1) \).
  \( f'(1) = (30) \cdot (-1) + (1) \cdot \left( \frac{1}{3} \right) \).

• Вычисляем:
  \( f'(1) = -30 + \frac{1}{3} = -29 \frac{2}{3} = -\frac{87 + 2}{3} = -\frac{89}{3} \).

Ответ: \( f'(1) = -29 \frac{2}{3} \) или \( -\frac{89}{3} \).