ГДЗ: Упражнение 814 - § 46 (Производная) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Упрощение функции

• Сначала попробуем упростить функцию \( f(x) = \frac{x^3 + x^2 + x}{x + 1} \).
  Вынесем \( x \) в числителе:
  \( f(x) = \frac{x(x^2 + x + 1)}{x + 1} \).

• Числитель не имеет общих множителей со знаменателем \( x + 1 \). Используем правило для производной частного: \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' v - u v'}{v^2} \).

Шаг 2: Нахождение производной частного

• Пусть \( u = x^3 + x^2 + x \) и \( v = x + 1 \).
  \( u' = (x^3 + x^2 + x)' = 3x^2 + 2x + 1 \).
  \( v' = (x + 1)' = 1 \).

• Подставляем в формулу:
  \( f'(x) = \frac{(3x^2 + 2x + 1)(x + 1) - (x^3 + x^2 + x)(1)}{(x + 1)^2} \).

Шаг 3: Упрощение числителя

• Раскрываем скобки в числителе:
  \( (3x^2 + 2x + 1)(x + 1) = 3x^3 + 3x^2 + 2x^2 + 2x + x + 1 = 3x^3 + 5x^2 + 3x + 1 \).

• Числитель равен:
  \( (3x^3 + 5x^2 + 3x + 1) - (x^3 + x^2 + x) \).

• Приводим подобные слагаемые:
  \( (3x^3 - x^3) + (5x^2 - x^2) + (3x - x) + 1 = 2x^3 + 4x^2 + 2x + 1 \).

• Результат: \( f'(x) = \frac{2x^3 + 4x^2 + 2x + 1}{(x + 1)^2} \).

Ответ: Производная функции \( \frac{x^3 + x^2 + x}{x + 1} \) равна \( \frac{2x^3 + 4x^2 + 2x + 1}{(x + 1)^2} \).

Шаг 1: Нахождение производной частного

• Используем правило частного: \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' v - u v'}{v^2} \), где \( u = \sqrt{x^2 + 1} \) и \( v = x - 1 \).

• Находим производные \( u' \) и \( v' \):
  \( v' = (x - 1)' = 1 \).
  \( u' = (\sqrt{x^2 + 1})' = \left( (x^2 + 1)^{\frac{1}{2}} \right)' \). Используем цепное правило:
  \( u' = \frac{1}{2} (x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot (x^2 + 1)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \).

• Подставляем в формулу:
  \( f'(x) = \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} (x - 1) - \sqrt{x^2 + 1} \cdot 1}{(x - 1)^2} \).

Шаг 2: Упрощение числителя

• Приводим слагаемые в числителе к общему знаменателю \( \sqrt{x^2 + 1} \):
  \( \text{Числитель} = \frac{x(x - 1) - \sqrt{x^2 + 1} \cdot \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x^2 - x - (x^2 + 1)}{\sqrt{x^2 + 1}} \).

• Упрощаем числитель дроби:
  \( x^2 - x - x^2 - 1 = -x - 1 = -(x + 1) \).

• Итоговое выражение для \( f'(x) \):
  \( f'(x) = \frac{\frac{-(x + 1)}{\sqrt{x^2 + 1}}}{(x - 1)^2} = -\frac{x + 1}{(x - 1)^2 \sqrt{x^2 + 1}} \).

Ответ: Производная функции \( \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x - 1} \) равна \( -\frac{x + 1}{(x - 1)^2 \sqrt{x^2 + 1}} \).