ГДЗ: Упражнение 813 - § 46 (Производная) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Нахождение производной \( y' \)

• Используем правило произведения \( (u v)' = u' v + u v' \), где \( u = (x - 3)^5 \) и \( v = (2 + 5x)^6 \).

• Находим производные \( u' \) и \( v' \) (цепное правило):
  \( u' = 5 (x - 3)^4 \cdot (x - 3)' = 5 (x - 3)^4 \).
  \( v' = 6 (2 + 5x)^5 \cdot (2 + 5x)' = 6 (2 + 5x)^5 \cdot 5 = 30 (2 + 5x)^5 \).

• Собираем \( y' \):
  \( y' = 5 (x - 3)^4 (2 + 5x)^6 + (x - 3)^5 \cdot 30 (2 + 5x)^5 \).

Шаг 2: Приравнивание производной к нулю и упрощение

• Приравниваем \( y' = 0 \):
  \( 5 (x - 3)^4 (2 + 5x)^6 + 30 (x - 3)^5 (2 + 5x)^5 = 0 \).

• Выносим общий множитель \( 5 (x - 3)^4 (2 + 5x)^5 \):
  \( 5 (x - 3)^4 (2 + 5x)^5 \left[ (2 + 5x)^1 + 6 (x - 3)^1 \right] = 0 \).

• Упрощаем выражение в квадратных скобках:
  \( 2 + 5x + 6x - 18 = 11x - 16 \).

• Уравнение приобретает вид:
  \( 5 (x - 3)^4 (2 + 5x)^5 (11x - 16) = 0 \).

Шаг 3: Нахождение корней

• Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
  1) \( (x - 3)^4 = 0 \implies x - 3 = 0 \implies x_1 = 3 \).
  2) \( (2 + 5x)^5 = 0 \implies 2 + 5x = 0 \implies 5x = -2 \implies x_2 = -\frac{2}{5} \).
  3) \( 11x - 16 = 0 \implies 11x = 16 \implies x_3 = \frac{16}{11} \).

Ответ: Значение производной функции равно 0 при \( x = 3 \), \( x = -\frac{2}{5} \) и \( x = \frac{16}{11} \).