ГДЗ: Упражнение 815 - § 46 (Производная) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Упрощение функции

• Разложим числитель и знаменатель на множители:
  \( f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x(x - 1)} \).

• Поскольку требуется найти \( f'(1) \), а в точке \( x = 1 \) функция не определена (\( \frac{0}{0} \)), то функция не дифференцируема в этой точке (если мы не рассматриваем предел производных).

• Однако, поскольку в данной теме часто подразумевается, что функция дифференцируема, если ее можно упростить до функции, дифференцируемой в точке, упростим функцию для \( x \ne 1 \):
  \( f(x) = \frac{x + 1}{x} = 1 + \frac{1}{x} = 1 + x^{-1} \).

• Будем искать производную упрощенной функции и ее значение в точке \( x = 1 \), понимая, что это предел производной в данной точке.

Шаг 2: Нахождение производной упрощенной функции

• Находим производную \( f'(x) = \left( 1 + x^{-1} \right)' \):
  \( f'(x) = (1)' + (x^{-1})' = 0 + (-1) x^{-2} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \).

Шаг 3: Вычисление \( f'(1) \)

• Подставляем \( x = 1 \) в выражение для производной:
  \( f'(1) = -\frac{1}{1^2} = -1 \).

Ответ: \( f'(1) = -1 \).

Шаг 1: Нахождение производной \( f'(x) \)

• Используем правило частного: \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' v - u v'}{v^2} \), где \( u = 2x^2 \) и \( v = 1 - 7x \).

• Находим производные \( u' \) и \( v' \):
  \( u' = (2x^2)' = 4x \).
  \( v' = (1 - 7x)' = -7 \).

• Подставляем в формулу:
  \( f'(x) = \frac{4x (1 - 7x) - 2x^2 (-7)}{(1 - 7x)^2} \).

• Упрощаем числитель:
  \( 4x - 28x^2 + 14x^2 = 4x - 14x^2 \).

• Результат: \( f'(x) = \frac{4x - 14x^2}{(1 - 7x)^2} \).

Шаг 2: Вычисление \( f'(1) \)

• Подставляем \( x = 1 \) в выражение для производной:
  \( f'(1) = \frac{4(1) - 14(1)^2}{(1 - 7(1))^2} = \frac{4 - 14}{(1 - 7)^2} \).

• Вычисляем:
  \( f'(1) = \frac{-10}{(-6)^2} = \frac{-10}{36} = -\frac{5}{18} \).

Ответ: \( f'(1) = -\frac{5}{18} \).