ГДЗ: Упражнение 812 - § 46 (Производная) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Нахождение производной функции \( y = x^3 + 2x^2 - 3x + 4 \)

• Обозначим исходную функцию как \( f(x) \). Находим ее производную \( f'(x) \):
  \( f'(x) = (x^3 + 2x^2 - 3x + 4)' \).
  \( f'(x) = 3x^2 + 2(2x) - 3(1) + 0 = 3x^2 + 4x - 3 \).

• График производной - это график функции \( y_1 = 3x^2 + 4x - 3 \).

Шаг 2: Определение точек пересечения

• Графики двух функций \( y_1 \) и \( y_2 = 3x + 1 \) пересекаются, если существует хотя бы одно значение \( x \), при котором \( y_1 = y_2 \). Приравниваем функции:
  \( 3x^2 + 4x - 3 = 3x + 1 \).

• Переносим все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
  \( 3x^2 + 4x - 3x - 3 - 1 = 0 \).
  \( 3x^2 + x - 4 = 0 \).

Шаг 3: Исследование существования корней квадратного уравнения

• Для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) корни существуют, если дискриминант \( D \ge 0 \).
  Здесь \( a = 3 \), \( b = 1 \), \( c = -4 \).
  \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(3)(-4) = 1 + 48 = 49 \).

• Так как \( D = 49 > 0 \), уравнение имеет два различных действительных корня.

• Находим корни:
  \( x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2(3)} = \frac{-1 \pm 7}{6} \).
  \( x_1 = \frac{-1 + 7}{6} = \frac{6}{6} = 1 \).
  \( x_2 = \frac{-1 - 7}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} \).

Шаг 4: Вывод

• Поскольку существуют два значения \( x \) (\( x = 1 \) и \( x = -\frac{4}{3} \)), при которых функции имеют одинаковое значение, их графики пересекаются.

Ответ: Графики пересекаются в двух точках, поскольку уравнение \( 3x^2 + x - 4 = 0 \) имеет действительные корни.