ГДЗ: Упражнение 810 - § 46 (Производная) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Нахождение производной с помощью правила произведения

• Используем правило произведения: \( (u v)' = u' v + u v' \), где \( u = x^2 - x \) и \( v = x^3 + x \).

• Находим производные \( u' \) и \( v' \):
  \( u' = (x^2 - x)' = 2x - 1 \).
  \( v' = (x^3 + x)' = 3x^2 + 1 \).

• Подставляем в формулу производной произведения:
  \( f'(x) = (2x - 1)(x^3 + x) + (x^2 - x)(3x^2 + 1) \).

Шаг 2: Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых

• Раскрываем скобки:
  \( (2x - 1)(x^3 + x) = 2x^4 + 2x^2 - x^3 - x \).
  \( (x^2 - x)(3x^2 + 1) = 3x^4 + x^2 - 3x^3 - x \).

• Складываем полученные выражения:
  \( f'(x) = (2x^4 + 2x^2 - x^3 - x) + (3x^4 + x^2 - 3x^3 - x) \).

• Группируем слагаемые с одинаковыми степенями \( x \):
  \( x^4 \): \( 2x^4 + 3x^4 = 5x^4 \).
  \( x^3 \): \( -x^3 - 3x^3 = -4x^3 \).
  \( x^2 \): \( 2x^2 + x^2 = 3x^2 \).
  \( x \): \( -x - x = -2x \).

• Результат: \( f'(x) = 5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x \).

Примечание: Можно также сначала перемножить многочлены: \( f(x) = x^5 + x^3 - x^4 - x^2 = x^5 - x^4 + x^3 - x^2 \). Тогда \( f'(x) = 5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x \).

Ответ: Производная функции \( (x^2 - x)(x^3 + x) \) равна \( 5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x \).

Шаг 1: Нахождение производной с помощью правила произведения

• Используем правило произведения: \( (u v)' = u' v + u v' \), где \( u = x + 2 \) и \( v = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \).

• Находим производные \( u' \) и \( v' \):
  \( u' = (x + 2)' = 1 \).
  \( v' = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

• Подставляем в формулу:
  \( f'(x) = (1) \sqrt{x} + (x + 2) \frac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{x + 2}{2\sqrt{x}} \).

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю

• Общий знаменатель \( 2\sqrt{x} \):
  \( f'(x) = \frac{\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{x + 2}{2\sqrt{x}} = \frac{2x + x + 2}{2\sqrt{x}} = \frac{3x + 2}{2\sqrt{x}} \).

Примечание: Можно также сначала раскрыть скобки: \( f(x) = x \sqrt{x} + 2\sqrt{x} = x^{\frac{3}{2}} + 2x^{\frac{1}{2}} \).
Тогда \( f'(x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{3x + 2}{2\sqrt{x}} \).

Ответ: Производная функции \( (x + 2)\sqrt{x} \) равна \( \frac{3x + 2}{2\sqrt{x}} \).

Шаг 1: Нахождение производной с помощью правила произведения

• Используем правило произведения: \( (u v)' = u' v + u v' \), где \( u = x - 1 \) и \( v = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \).

• Находим производные \( u' \) и \( v' \):
  \( u' = (x - 1)' = 1 \).
  \( v' = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

• Подставляем в формулу:
  \( f'(x) = (1) \sqrt{x} + (x - 1) \frac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{x - 1}{2\sqrt{x}} \).

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю

• Общий знаменатель \( 2\sqrt{x} \):
  \( f'(x) = \frac{\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{x - 1}{2\sqrt{x}} = \frac{2x + x - 1}{2\sqrt{x}} = \frac{3x - 1}{2\sqrt{x}} \).

Ответ: Производная функции \( (x - 1)\sqrt{x} \) равна \( \frac{3x - 1}{2\sqrt{x}} \).