ГДЗ: Упражнение 809 - § 46 (Производная) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Нахождение производной \( f'(x) \)

• Находим производную функции:
  \( f'(x) = (x^3 - 2x)' = 3x^2 - 2 \).

Шаг 2: Приравнивание производной к нулю

• Приравниваем полученную производную к нулю и решаем уравнение относительно \( x \):
  \( 3x^2 - 2 = 0 \).

• \( 3x^2 = 2 \).

• \( x^2 = \frac{2}{3} \).

• \( x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} \).

Ответ: Значения \( x \), при которых \( f'(x) = 0 \), это \( x = \frac{\sqrt{6}}{3} \) и \( x = -\frac{\sqrt{6}}{3} \).

Шаг 1: Нахождение производной \( f'(x) \)

• Находим производную функции:
  \( f'(x) = (-x^3 + 3x + 1)' = -3x^2 + 3 + 0 = -3x^2 + 3 \).

Шаг 2: Приравнивание производной к нулю

• Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
  \( -3x^2 + 3 = 0 \).

• \( 3x^2 = 3 \).

• \( x^2 = 1 \).

• \( x = \pm 1 \).

Ответ: Значения \( x \), при которых \( f'(x) = 0 \), это \( x = 1 \) и \( x = -1 \).

Шаг 1: Нахождение производной \( f'(x) \)

• Находим производную функции:
  \( f'(x) = (2x^3 + 3x^2 - 12x - 3)' = 2(3x^2) + 3(2x) - 12(1) - 0 = 6x^2 + 6x - 12 \).

Шаг 2: Приравнивание производной к нулю

• Приравниваем производную к нулю и решаем квадратное уравнение:
  \( 6x^2 + 6x - 12 = 0 \).

• Делим все слагаемые на 6:
  \( x^2 + x - 2 = 0 \).

• Используем теорему Виета или дискриминант. (По Виету: \( x_1 + x_2 = -1 \), \( x_1 x_2 = -2 \)).
  Корни: \( x_1 = -2 \), \( x_2 = 1 \).

Ответ: Значения \( x \), при которых \( f'(x) = 0 \), это \( x = -2 \) и \( x = 1 \).

Шаг 1: Нахождение производной \( f'(x) \)

• Находим производную функции:
  \( f'(x) = (x^3 + 2x^2 - 7x + 1)' = 3x^2 + 2(2x) - 7(1) + 0 = 3x^2 + 4x - 7 \).

Шаг 2: Приравнивание производной к нулю

• Приравниваем производную к нулю и решаем квадратное уравнение:
  \( 3x^2 + 4x - 7 = 0 \).

• Используем формулу корней квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \):
  \( D = 4^2 - 4(3)(-7) = 16 + 84 = 100 \). \( \sqrt{D} = 10 \).

• \( x_1 = \frac{-4 - 10}{2(3)} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3} \).

• \( x_2 = \frac{-4 + 10}{2(3)} = \frac{6}{6} = 1 \).

Ответ: Значения \( x \), при которых \( f'(x) = 0 \), это \( x = -\frac{7}{3} \) и \( x = 1 \).

Шаг 1: Нахождение производной \( f'(x) \)

• Находим производную функции:
  \( f'(x) = (3x^4 - 4x^3 - 12x^2)' = 3(4x^3) - 4(3x^2) - 12(2x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x \).

Шаг 2: Приравнивание производной к нулю

• Приравниваем производную к нулю:
  \( 12x^3 - 12x^2 - 24x = 0 \).

• Выносим общий множитель \( 12x \):
  \( 12x (x^2 - x - 2) = 0 \).

• Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
  1) \( 12x = 0 \implies x_1 = 0 \).
  2) \( x^2 - x - 2 = 0 \). (По Виету: \( x_2 + x_3 = 1 \), \( x_2 x_3 = -2 \)).
  Корни: \( x_2 = 2 \), \( x_3 = -1 \).

Ответ: Значения \( x \), при которых \( f'(x) = 0 \), это \( x = 0 \), \( x = -1 \) и \( x = 2 \).

Шаг 1: Нахождение производной \( f'(x) \)

• Находим производную функции:
  \( f'(x) = (x^4 + 4x^3 - 8x^2 - 5)' = 4x^3 + 4(3x^2) - 8(2x) - 0 = 4x^3 + 12x^2 - 16x \).

Шаг 2: Приравнивание производной к нулю

• Приравниваем производную к нулю:
  \( 4x^3 + 12x^2 - 16x = 0 \).

• Выносим общий множитель \( 4x \):
  \( 4x (x^2 + 3x - 4) = 0 \).

• Произведение равно нулю, если:
  1) \( 4x = 0 \implies x_1 = 0 \).
  2) \( x^2 + 3x - 4 = 0 \). (По Виету: \( x_2 + x_3 = -3 \), \( x_2 x_3 = -4 \)).
  Корни: \( x_2 = -4 \), \( x_3 = 1 \).

Ответ: Значения \( x \), при которых \( f'(x) = 0 \), это \( x = 0 \), \( x = -4 \) и \( x = 1 \).