ГДЗ: Упражнение 825 - § 46 (Производная) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Нахождение производной \( f'(x) \)

• \( f'(x) = (x^3 - 4x^2 + 1)' = 3x^2 - 8x \).

Шаг 2: Решение неравенства \( f'(x) > 0 \)

• Требуется найти \( x \), при которых \( 3x^2 - 8x > 0 \).

• Выносим \( x \): \( x (3x - 8) > 0 \).

• Находим корни соответствующего уравнения \( x (3x - 8) = 0 \):
  \( x_1 = 0 \), \( x_2 = \frac{8}{3} \).

• График квадратичной функции \( y = 3x^2 - 8x \) - парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент \( 3 > 0 \)). Функция положительна вне интервала между корнями.

• Результат: \( x < 0 \) или \( x > \frac{8}{3} \).

Ответ: Производная функции положительна при \( x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{8}{3}; +\infty) \).

Шаг 1: Нахождение производной \( f'(x) \)

• \( f'(x) = (3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 3)' = 12x^3 - 12x^2 - 24x \).

Шаг 2: Решение неравенства \( f'(x) > 0 \)

• Требуется найти \( x \), при которых \( 12x^3 - 12x^2 - 24x > 0 \).

• Делим на 12 и выносим \( x \):
  \( x^3 - x^2 - 2x > 0 \).
  \( x (x^2 - x - 2) > 0 \).

• Находим корни квадратного трехчлена \( x^2 - x - 2 = 0 \):
  \( x_1 = -1 \), \( x_2 = 2 \).
  Таким образом, \( x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2) \).

• Неравенство: \( x (x + 1) (x - 2) > 0 \).

• Используем метод интервалов. Корни: \( -1 \), \( 0 \), \( 2 \).
  Начинаем со знака \( + \) справа (\( x > 2 \)). Знаки чередуются: \( +, -, +, - \).
  \( x \in (-1; 0) \cup (2; +\infty) \).

Ответ: Производная функции положительна при \( x \in (-1; 0) \cup (2; +\infty) \).

Шаг 1: Нахождение области определения и производной \( f'(x) \)

• Область определения функции: \( x \ge 0 \).

• Используем правило произведения: \( u = (x + 2)^2 \), \( v = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \).
  \( u' = 2(x + 2) \).
  \( v' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

• \( f'(x) = 2(x + 2)\sqrt{x} + (x + 2)^2 \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

Шаг 2: Решение неравенства \( f'(x) > 0 \)

• Выносим общий множитель \( (x + 2) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \):
  \( f'(x) = \frac{x + 2}{2\sqrt{x}} \left[ 2\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} + (x + 2) \right] \).
  \( f'(x) = \frac{x + 2}{2\sqrt{x}} \left[ 4x + x + 2 \right] = \frac{(x + 2)(5x + 2)}{2\sqrt{x}} \).

• Требуется решить неравенство \( \frac{(x + 2)(5x + 2)}{2\sqrt{x}} > 0 \).

• На ОДЗ (\( x > 0 \)):
  \( 2\sqrt{x} \) всегда положительно.
  \( x + 2 \) всегда положительно (\( x > 0 \)).
  \( 5x + 2 \) всегда положительно (\( x > 0 \)).

• Следовательно, \( f'(x) > 0 \) для всех \( x \) из области определения, где производная существует.

Ответ: Производная функции положительна при \( x \in (0; +\infty) \).

Шаг 1: Нахождение области определения и производной \( f'(x) \)

• Область определения функции: \( x \ge 0 \).

• Используем производную, найденную в задаче 810 (3) для \( (x - 1)\sqrt{x} \), но здесь \( (x - 3)\sqrt{x} \).
  Находим производную: \( u = x - 3 \), \( v = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \).
  \( f'(x) = 1 \cdot \sqrt{x} + (x - 3) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2x + x - 3}{2\sqrt{x}} = \frac{3x - 3}{2\sqrt{x}} \).

Шаг 2: Решение неравенства \( f'(x) > 0 \)

• Требуется решить неравенство \( \frac{3x - 3}{2\sqrt{x}} > 0 \).

• На ОДЗ (\( x > 0 \)):
  Знаменатель \( 2\sqrt{x} \) всегда положителен.
  Неравенство эквивалентно: \( 3x - 3 > 0 \).

• Решаем линейное неравенство:
  \( 3x > 3 \implies x > 1 \).

• Учитывая ОДЗ \( x > 0 \), окончательное условие \( x > 1 \).

Ответ: Производная функции положительна при \( x \in (1; +\infty) \).