ГДЗ: Упражнение 819 - § 46 (Производная) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Упрощение функции

• Разделим числитель на знаменатель почленно, используя \( \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \):
  \( f(x) = \frac{x^2}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{2 - \frac{1}{2}} - 4x^{-\frac{1}{2}} \).
  \( f(x) = x^{\frac{3}{2}} - 4x^{-\frac{1}{2}} \).

Шаг 2: Нахождение производной \( f'(x) \)

• Находим производную:
  \( f'(x) = (x^{\frac{3}{2}})' - (4x^{-\frac{1}{2}})' \).

• Применяем правило \( (x^n)' = n x^{n-1} \):
  \( f'(x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} - 4 \left( -\frac{1}{2} \right) x^{-\frac{1}{2} - 1} \).
  \( f'(x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{-\frac{3}{2}} \).

• Записываем в виде корней:
  \( f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x^3}} \).

Ответ: Производная функции \( \frac{x^2 - 4}{\sqrt{x}} \) равна \( \frac{3}{2}\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x^3}} \).

Шаг 1: Упрощение функции

• Представим корни в виде степеней и раскроем скобки:
  \( f(x) = x^{\frac{1}{4}} \left( x^{-\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{4}} \right) \).

• Умножаем степени: \( a^m a^n = a^{m+n} \).
  \( f(x) = x^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{4} - \frac{1}{4}} = x^{\frac{1 - 2}{4}} - x^0 \).
  \( f(x) = x^{-\frac{1}{4}} - 1 \). (При условии \( x > 0 \)).

Шаг 2: Нахождение производной \( f'(x) \)

• Находим производную:
  \( f'(x) = (x^{-\frac{1}{4}} - 1)' = (x^{-\frac{1}{4}})' - (1)' \).

• Применяем правило:
  \( f'(x) = -\frac{1}{4} x^{-\frac{1}{4} - 1} - 0 \).
  \( f'(x) = -\frac{1}{4} x^{-\frac{5}{4}} \).

• Записываем в виде корней:
  \( f'(x) = -\frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}} = -\frac{1}{4 \sqrt[4]{x^5}} \).

Ответ: Производная функции \( \sqrt[4]{x} \left( \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt[4]{x}} \right) \) равна \( -\frac{1}{4 \sqrt[4]{x^5}} \).