ГДЗ: Упражнение 821 - § 46 (Производная) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Нахождение производной частного

• Используем правило частного: \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' v - u v'}{v^2} \), где \( u = 2x^2 - 3x + 1 \) и \( v = x + 1 \).

• Находим производные \( u' \) и \( v' \):
  \( u' = (2x^2 - 3x + 1)' = 4x - 3 \).
  \( v' = (x + 1)' = 1 \).

• Подставляем в формулу:
  \( f'(x) = \frac{(4x - 3)(x + 1) - (2x^2 - 3x + 1)(1)}{(x + 1)^2} \).

• Раскрываем скобки в числителе:
  \( (4x - 3)(x + 1) = 4x^2 + 4x - 3x - 3 = 4x^2 + x - 3 \).

• Числитель:
  \( (4x^2 + x - 3) - (2x^2 - 3x + 1) = 4x^2 + x - 3 - 2x^2 + 3x - 1 \).

• Приводим подобные слагаемые:
  \( (4x^2 - 2x^2) + (x + 3x) + (-3 - 1) = 2x^2 + 4x - 4 \).

• Результат:
  \( f'(x) = \frac{2x^2 + 4x - 4}{(x + 1)^2} \).

Ответ: Производная функции \( \frac{2x^2 - 3x + 1}{x + 1} \) равна \( \frac{2x^2 + 4x - 4}{(x + 1)^2} \).

Шаг 1: Нахождение производной частного

• Используем правило частного: \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' v - u v'}{v^2} \), где \( u = 3x^2 + 2x - 1 \) и \( v = 2x + 1 \).

• Находим производные \( u' \) и \( v' \):
  \( u' = (3x^2 + 2x - 1)' = 6x + 2 \).
  \( v' = (2x + 1)' = 2 \).

• Подставляем в формулу:
  \( f'(x) = \frac{(6x + 2)(2x + 1) - (3x^2 + 2x - 1)(2)}{(2x + 1)^2} \).

• Раскрываем скобки в числителе:
  \( (6x + 2)(2x + 1) = 12x^2 + 6x + 4x + 2 = 12x^2 + 10x + 2 \).
  \( 2(3x^2 + 2x - 1) = 6x^2 + 4x - 2 \).

• Числитель:
  \( (12x^2 + 10x + 2) - (6x^2 + 4x - 2) = 12x^2 + 10x + 2 - 6x^2 - 4x + 2 \).

• Приводим подобные слагаемые:
  \( (12x^2 - 6x^2) + (10x - 4x) + (2 + 2) = 6x^2 + 6x + 4 \).

• Выносим 2 в числителе: \( 2(3x^2 + 3x + 2) \).
  \( f'(x) = \frac{2(3x^2 + 3x + 2)}{(2x + 1)^2} \).

Ответ: Производная функции \( \frac{3x^2 + 2x - 1}{2x + 1} \) равна \( \frac{2(3x^2 + 3x + 2)}{(2x + 1)^2} \).

Шаг 1: Разделение функции на две части

• Обозначим \( f(x) = f_1(x) + f_2(x) \), где \( f_1(x) = \frac{2 - x}{\sqrt{x}} \) и \( f_2(x) = \frac{2 - \sqrt{x}}{2 - x} \).
  Производная \( f'(x) = f'_1(x) + f'_2(x) \).

Шаг 2: Нахождение \( f'_1(x) \)

• Упростим \( f_1(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{x}{\sqrt{x}} = 2x^{-\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \).

• Находим производную:
  \( f'_1(x) = 2 \left( -\frac{1}{2} \right) x^{-\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = -x^{-\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \).
  \( f'_1(x) = -\frac{1}{\sqrt{x^3}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

Шаг 3: Нахождение \( f'_2(x) \) (Правило частного)

• Для \( f_2(x) = \frac{u}{v} = \frac{2 - x^{\frac{1}{2}}}{2 - x} \).
  \( u' = (2 - x^{\frac{1}{2}})' = -\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \).
  \( v' = (2 - x)' = -1 \).

• Применяем правило частного:
  \( f'_2(x) = \frac{\left( -\frac{1}{2\sqrt{x}} \right) (2 - x) - (2 - \sqrt{x}) (-1)}{(2 - x)^2} \).

• Упрощаем числитель:
  \( -\frac{2 - x}{2\sqrt{x}} + (2 - \sqrt{x}) = \frac{-(2 - x) + 2\sqrt{x} (2 - \sqrt{x})}{2\sqrt{x}} \).
  \( = \frac{-2 + x + 4\sqrt{x} - 2x}{2\sqrt{x}} = \frac{4\sqrt{x} - x - 2}{2\sqrt{x}} \).

• Результат \( f'_2(x) \):
  \( f'_2(x) = \frac{4\sqrt{x} - x - 2}{2\sqrt{x} (2 - x)^2} \).

Шаг 4: Окончательный ответ \( f'(x) = f'_1(x) + f'_2(x) \)

• \( f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{x^3}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{4\sqrt{x} - x - 2}{2\sqrt{x} (2 - x)^2} \).

Ответ: Производная функции \( \frac{2 - x}{\sqrt{x}} + \frac{2 - \sqrt{x}}{2 - x} \) равна \( -\frac{1}{\sqrt{x^3}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{4\sqrt{x} - x - 2}{2\sqrt{x} (2 - x)^2} \).