ГДЗ: Упражнение 826 - § 46 (Производная) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Нахождение производной \( y' \)

• Используем правило произведения \( (u v)' = u' v + u v' \), где \( u = (5 - 3x)^4 \) и \( v = (3x - 1)^3 \).

• Находим производные \( u' \) и \( v' \):
  \( u' = 4 (5 - 3x)^3 \cdot (-3) = -12 (5 - 3x)^3 \).
  \( v' = 3 (3x - 1)^2 \cdot 3 = 9 (3x - 1)^2 \).

• Собираем \( y' \):
  \( y' = -12 (5 - 3x)^3 (3x - 1)^3 + (5 - 3x)^4 \cdot 9 (3x - 1)^2 \).

• Выносим общий множитель \( 3 (5 - 3x)^3 (3x - 1)^2 \):
  \( y' = 3 (5 - 3x)^3 (3x - 1)^2 \left[ -4 (3x - 1) + 3 (5 - 3x) \right] \).

• Упрощаем выражение в скобках:
  \( -12x + 4 + 15 - 9x = -21x + 19 \).

• Результат: \( y' = 3 (5 - 3x)^3 (3x - 1)^2 (19 - 21x) \).

Шаг 2: Решение неравенства \( y' < 0 \)

• Требуется решить неравенство: \( 3 (5 - 3x)^3 (3x - 1)^2 (19 - 21x) < 0 \).

• Замечаем, что \( (3x - 1)^2 \ge 0 \). Он может влиять только в точке, где равен нулю, но не меняет знак неравенства, если не равен нулю.
  Нули множителей:
  \( 5 - 3x = 0 \implies x_1 = \frac{5}{3} \). (Кратность 3, знак меняется)
  \( 3x - 1 = 0 \implies x_2 = \frac{1}{3} \). (Кратность 2, знак не меняется)
  \( 19 - 21x = 0 \implies x_3 = \frac{19}{21} \). (Кратность 1, знак меняется)

• Расставляем точки на числовой прямой: \( \frac{1}{3} \), \( \frac{19}{21} \), \( \frac{5}{3} \). (Порядок: \( \frac{1}{3} \approx 0.33 \), \( \frac{19}{21} \approx 0.90 \), \( \frac{5}{3} \approx 1.67 \)).

• Определяем знак при \( x > \frac{5}{3} \) (например, \( x = 2 \)):
  \( (5 - 6)^3 < 0 \), \( (3(2) - 1)^2 > 0 \), \( (19 - 21(2)) < 0 \).
  Общий знак: \( 3 \cdot (-) \cdot (+) \cdot (-) = (+) \).
  Начинаем справа со знака \( + \).
  Знаки интервалов: \( + \) (на \( (\frac{5}{3}; +\infty) \)) \( - \) (на \( (\frac{19}{21}; \frac{5}{3}) \)) \( - \) (на \( (\frac{1}{3}; \frac{19}{21}) \)) \( + \) (на \( (-\infty; \frac{1}{3}) \)).

• Требуется найти интервалы, где знак \( - \).
  \( x \in (\frac{19}{21}; \frac{5}{3}) \).

Ответ: Производная функции отрицательна при \( x \in (\frac{19}{21}; \frac{5}{3}) \).

Шаг 1: Упрощение функции

• Заметим, что \( 3 - 2x = -(2x - 3) \).
  \( y = (2x - 3)^2 \left( -(2x - 3) \right)^3 = (2x - 3)^2 \cdot (-1)^3 (2x - 3)^3 \).
  \( y = - (2x - 3)^{2 + 3} = - (2x - 3)^5 \).

Шаг 2: Нахождение производной \( y' \)

• Находим производную сложной функции:
  \( y' = \left( - (2x - 3)^5 \right)' = - 5 (2x - 3)^4 \cdot (2x - 3)' \).
  \( y' = - 5 (2x - 3)^4 \cdot 2 = -10 (2x - 3)^4 \).

Шаг 3: Решение неравенства \( y' < 0 \)

• Требуется решить неравенство: \( -10 (2x - 3)^4 < 0 \).

• Разделим на \( -10 \) и поменяем знак неравенства:
  \( (2x - 3)^4 > 0 \).

• Четная степень положительна всегда, кроме случая, когда основание равно нулю:
  \( (2x - 3)^4 = 0 \implies 2x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{2} \).

• Следовательно, неравенство выполняется для всех \( x \ne \frac{3}{2} \).

Ответ: Производная функции отрицательна при \( x \in (-\infty; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty) \).

Шаг 1: Нахождение производной \( y' \) (Правило частного)

• Используем правило частного: \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' v - u v'}{v^2} \), где \( u = 3x^2 - 1 \) и \( v = 1 - 2x \).

• Находим производные \( u' = 6x \) и \( v' = -2 \).

• Подставляем:
  \( y' = \frac{6x (1 - 2x) - (3x^2 - 1) (-2)}{(1 - 2x)^2} \).

• Упрощаем числитель:
  \( 6x - 12x^2 - (-6x^2 + 2) = 6x - 12x^2 + 6x^2 - 2 \).
  \( = -6x^2 + 6x - 2 = -2(3x^2 - 3x + 1) \).

• Результат: \( y' = -\frac{2(3x^2 - 3x + 1)}{(1 - 2x)^2} \).

Шаг 2: Решение неравенства \( y' < 0 \)

• Требуется решить: \( -\frac{2(3x^2 - 3x + 1)}{(1 - 2x)^2} < 0 \).

• Умножаем на \( -1 \) и меняем знак: \( \frac{2(3x^2 - 3x + 1)}{(1 - 2x)^2} > 0 \).

• Рассмотрим числитель \( 3x^2 - 3x + 1 \):
  Дискриминант: \( D = (-3)^2 - 4(3)(1) = 9 - 12 = -3 \).
  Так как \( D < 0 \) и старший коэффициент \( 3 > 0 \), то \( 3x^2 - 3x + 1 > 0 \) для всех \( x \).

• Знаменатель \( (1 - 2x)^2 \ge 0 \). Он равен нулю при \( 1 - 2x = 0 \implies x = \frac{1}{2} \).

• Неравенство выполняется, когда числитель и знаменатель положительны, т.е. для всех \( x \), кроме точки, где знаменатель равен нулю.

Ответ: Производная функции отрицательна при \( x \in (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty) \).

Шаг 1: Нахождение производной \( y' \) (Правило частного)

• Используем правило частного: \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' v - u v'}{v^2} \), где \( u = 3x^3 \) и \( v = 1 - 3x \).
  \( u' = 9x^2 \), \( v' = -3 \).

• Подставляем:
  \( y' = \frac{9x^2 (1 - 3x) - 3x^3 (-3)}{(1 - 3x)^2} = \frac{9x^2 - 27x^3 + 9x^3}{(1 - 3x)^2} \).

• Упрощаем числитель:
  \( 9x^2 - 18x^3 = 9x^2 (1 - 2x) \).

• Результат: \( y' = \frac{9x^2 (1 - 2x)}{(1 - 3x)^2} \).

Шаг 2: Решение неравенства \( y' < 0 \)

• Требуется решить: \( \frac{9x^2 (1 - 2x)}{(1 - 3x)^2} < 0 \).

• Исследуем знаки множителей:
  \( 9x^2 \ge 0 \). Равно 0 при \( x = 0 \).
  \( (1 - 3x)^2 > 0 \). Равно 0 при \( x = \frac{1}{3} \).
  \( 1 - 2x \).

• Неравенство эквивалентно \( 1 - 2x < 0 \) при \( x \ne 0 \) и \( x \ne \frac{1}{3} \).

• Решаем \( 1 - 2x < 0 \):
  \( 1 < 2x \implies x > \frac{1}{2} \).

• Учитываем исключения \( x \ne \frac{1}{3} \) (которое уже включено в \( x > \frac{1}{2} \)) и \( x \ne 0 \).

Ответ: Производная функции отрицательна при \( x \in (\frac{1}{2}; +\infty) \).