ГДЗ: Упражнение 820 - § 46 (Производная) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Нахождение производной \( f'(x) \) (Правило произведения)

• Используем правило произведения \( (u v)' = u' v + u v' \), где \( u = (2x - 3)^5 \) и \( v = 3x^2 + 2x + 1 \).

• Находим производные \( u' \) и \( v' \):
  \( u' = \left( (2x - 3)^5 \right)' = 5 (2x - 3)^4 \cdot (2x - 3)' = 5 (2x - 3)^4 \cdot 2 = 10 (2x - 3)^4 \).
  \( v' = (3x^2 + 2x + 1)' = 6x + 2 \).

• Собираем \( f'(x) \):
  \( f'(x) = 10 (2x - 3)^4 (3x^2 + 2x + 1) + (2x - 3)^5 (6x + 2) \).

• Выносим общий множитель \( 2 (2x - 3)^4 \):
  \( f'(x) = 2 (2x - 3)^4 \left[ 5 (3x^2 + 2x + 1) + (2x - 3) (3x + 1) \right] \).

• Упрощаем выражение в квадратных скобках:
  \( 5(3x^2 + 2x + 1) = 15x^2 + 10x + 5 \).
  \( (2x - 3)(3x + 1) = 6x^2 + 2x - 9x - 3 = 6x^2 - 7x - 3 \).
  \( \text{Скобки} = (15x^2 + 10x + 5) + (6x^2 - 7x - 3) = 21x^2 + 3x + 2 \).

• Результат:
  \( f'(x) = 2 (2x - 3)^4 (21x^2 + 3x + 2) \).

Ответ: Производная функции \( (2x - 3)^5 (3x^2 + 2x + 1) \) равна \( 2 (2x - 3)^4 (21x^2 + 3x + 2) \).

Шаг 1: Нахождение производной \( f'(x) \) (Правило произведения)

• Используем правило произведения \( (u v)' = u' v + u v' \), где \( u = (2x - 1)^4 \) и \( v = (x + 1)^5 \).

• Находим производные \( u' \) и \( v' \):
  \( u' = 4 (2x - 1)^3 \cdot (2x - 1)' = 4 (2x - 1)^3 \cdot 2 = 8 (2x - 1)^3 \).
  \( v' = 5 (x + 1)^4 \cdot (x + 1)' = 5 (x + 1)^4 \).

• Собираем \( f'(x) \):
  \( f'(x) = 8 (2x - 1)^3 (x + 1)^5 + (2x - 1)^4 \cdot 5 (x + 1)^4 \).

• Выносим общий множитель \( (2x - 1)^3 (x + 1)^4 \):
  \( f'(x) = (2x - 1)^3 (x + 1)^4 \left[ 8 (x + 1)^1 + 5 (2x - 1)^1 \right] \).

• Упрощаем выражение в квадратных скобках:
  \( 8x + 8 + 10x - 5 = 18x + 3 \).
  Выносим 3 из скобки: \( 3(6x + 1) \).

• Результат:
  \( f'(x) = 3 (2x - 1)^3 (x + 1)^4 (6x + 1) \).

Ответ: Производная функции \( (2x - 1)^4 (x + 1)^5 \) равна \( 3 (2x - 1)^3 (x + 1)^4 (6x + 1) \).

Шаг 1: Нахождение производной \( f'(x) \) (Правило произведения)

• Используем правило произведения \( (u v)' = u' v + u v' \), где \( u = \sqrt{3x + 2} = (3x + 2)^{\frac{1}{2}} \) и \( v = (3x - 1)^4 \).

• Находим производные \( u' \) и \( v' \):
  \( u' = \frac{1}{2} (3x + 2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (3x + 2)' = \frac{1}{2\sqrt{3x + 2}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x + 2}} \).
  \( v' = 4 (3x - 1)^3 \cdot (3x - 1)' = 4 (3x - 1)^3 \cdot 3 = 12 (3x - 1)^3 \).

• Собираем \( f'(x) \):
  \( f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x + 2}} (3x - 1)^4 + \sqrt{3x + 2} \cdot 12 (3x - 1)^3 \).

• Выносим общий множитель \( (3x - 1)^3 \):
  \( f'(x) = (3x - 1)^3 \left[ \frac{3 (3x - 1)}{2\sqrt{3x + 2}} + 12\sqrt{3x + 2} \right] \).

• Приводим слагаемые в квадратных скобках к общему знаменателю \( 2\sqrt{3x + 2} \):
  \( \text{Скобки} = \frac{3 (3x - 1) + 12\sqrt{3x + 2} \cdot 2\sqrt{3x + 2}}{2\sqrt{3x + 2}} \).
  \( \text{Скобки} = \frac{9x - 3 + 24 (3x + 2)}{2\sqrt{3x + 2}} = \frac{9x - 3 + 72x + 48}{2\sqrt{3x + 2}} = \frac{81x + 45}{2\sqrt{3x + 2}} \).

• Выносим 9 из числителя: \( 9(9x + 5) \).
  \( f'(x) = (3x - 1)^3 \frac{9(9x + 5)}{2\sqrt{3x + 2}} \).

Ответ: Производная функции \( \sqrt{3x + 2} (3x - 1)^4 \) равна \( \frac{9 (3x - 1)^3 (9x + 5)}{2\sqrt{3x + 2}} \).

Шаг 1: Нахождение производной \( f'(x) \) (Правило произведения)

• Используем правило произведения \( (u v)' = u' v + u v' \), где \( u = \sqrt{2x + 4} = (2x + 4)^{\frac{1}{2}} \) и \( v = (2x - 3)^3 \).

• Находим производные \( u' \) и \( v' \):
  \( u' = \frac{1}{2} (2x + 4)^{-\frac{1}{2}} \cdot (2x + 4)' = \frac{1}{2\sqrt{2x + 4}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x + 4}} \).
  \( v' = 3 (2x - 3)^2 \cdot (2x - 3)' = 3 (2x - 3)^2 \cdot 2 = 6 (2x - 3)^2 \).

• Собираем \( f'(x) \):
  \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 4}} (2x - 3)^3 + \sqrt{2x + 4} \cdot 6 (2x - 3)^2 \).

• Выносим общий множитель \( (2x - 3)^2 \):
  \( f'(x) = (2x - 3)^2 \left[ \frac{2x - 3}{\sqrt{2x + 4}} + 6\sqrt{2x + 4} \right] \).

• Приводим слагаемые в квадратных скобках к общему знаменателю \( \sqrt{2x + 4} \):
  \( \text{Скобки} = \frac{2x - 3 + 6\sqrt{2x + 4} \cdot \sqrt{2x + 4}}{\sqrt{2x + 4}} \).
  \( \text{Скобки} = \frac{2x - 3 + 6 (2x + 4)}{\sqrt{2x + 4}} = \frac{2x - 3 + 12x + 24}{\sqrt{2x + 4}} = \frac{14x + 21}{\sqrt{2x + 4}} \).

• Выносим 7 из числителя: \( 7(2x + 3) \).
  \( f'(x) = (2x - 3)^2 \frac{7(2x + 3)}{\sqrt{2x + 4}} \).

Ответ: Производная функции \( \sqrt{2x + 4} (2x - 3)^3 \) равна \( \frac{7 (2x - 3)^2 (2x + 3)}{\sqrt{2x + 4}} \).