Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 52 / Задание 936

ГДЗ: Упражнение 936 - § 52 (Наибольшее и наименьшее значения функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 277, 280, 281, 282
Глава: Глава 9
Параграф: § 52 - Наибольшее и наименьшее значения функции
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

936 упражнение:

Используя график функции (рис. 140), найти её точки экстремума, а также наибольшее и наименьшее значения функции.

1) График \(y = f(x)\) (Рис. 140, а))

Решение:

\n

Рассмотрим график функции \( y = f(x) \) на рисунке 140, а).

\n\n

1. Нахождение точек экстремума:

\n
    \n
  • Точки минимума: Это точки, в которых функция имеет локальный минимум. На графике видно, что функция имеет локальные минимумы в точках, где график достигает своих "долин". Эти точки: \( x = -4 \) и \( x = 2 \).
    • \n
  • Точки максимума: Это точки, в которых функция имеет локальный максимум. На графике видно, что функция имеет локальные максимумы в точках, где график достигает своих "вершин". Эта точка: \( x = -1 \).
    • \n
\n\n

2. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции:

\n

Наибольшее и наименьшее значения ищутся среди значений в точках экстремума и на концах рассматриваемого промежутка (если таковой определён). График представлен на некотором отрезке.

\n
    \n
  • Наибольшее значение: Самая высокая точка на графике. Это точка \((-1; 2)\). Таким образом, наибольшее значение функции равно \( 2 \), достигается при \( x = -1 \).
    • \n
  • Наименьшее значение: Самая низкая точка на графике. Это точка \((2; -3)\). Таким образом, наименьшее значение функции равно \( -3 \), достигается при \( x = 2 \).
    • \n
\n\n

Ответ:

\n
    \n
  • Точки экстремума: точки минимума — \( x = -4, x = 2 \); точка максимума — \( x = -1 \).
    • \n
  • Наибольшее значение функции: \( 2 \) при \( x = -1 \).
    • \n
  • Наименьшее значение функции: \( -3 \) при \( x = 2 \).
    • \n
2) График \( y = f_1(x) \) (Рис. 140, б))

Решение:

\n

Рассмотрим график функции \( y = f_1(x) \) на рисунке 140, б).

\n\n

1. Нахождение точек экстремума:

\n
    \n
  • Точки минимума: На графике функция имеет локальные минимумы в точках: \( x = -2 \) и \( x = 1 \).
    • \n
  • Точки максимума: На графике функция имеет локальный максимум в точке: \( x = -0,5 \) (приблизительно).
    • \n
\n\n

2. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции:

\n
    \n
  • Наибольшее значение: Самая высокая точка на графике. Это правый конец графика \((2; 2)\). Таким образом, наибольшее значение функции равно \( 2 \), достигается при \( x = 2 \).
    • \n
  • Наименьшее значение: Самая низкая точка на графике. Это точка минимума \((1; -1)\). Таким образом, наименьшее значение функции равно \( -1 \), достигается при \( x = 1 \).
    • \n
\n\n

Ответ:

\n
    \n
  • Точки экстремума: точки минимума — \( x = -2, x = 1 \); точка максимума — \( x \approx -0,5 \).
    • \n
  • Наибольшее значение функции: \( 2 \) при \( x = 2 \).
    • \n
  • Наименьшее значение функции: \( -1 \) при \( x = 1 \).
    • \n
3) График \( y = f_2(x) \) (Рис. 140, в))

Решение:

\n

Рассмотрим график функции \( y = f_2(x) \) на рисунке 140, в).

\n\n

1. Нахождение точек экстремума:

\n
    \n
  • Точки минимума: На графике функция имеет локальные минимумы в точках: \( x = -4 \) и \( x = 2 \).
    • \n
  • Точки максимума: На графике функция имеет локальный максимум в точке: \( x = -1 \).
    • \n
\n\n

2. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции:

\n
    \n
  • Наибольшее значение: Самая высокая точка на графике. Это точка максимума \((-1; 2)\). Таким образом, наибольшее значение функции равно \( 2 \), достигается при \( x = -1 \).
    • \n
  • Наименьшее значение: Самая низкая точка на графике. Это левый конец графика \((-5; -3)\) и точка минимума \((2; -3)\). Таким образом, наименьшее значение функции равно \( -3 \), достигается при \( x = -5 \) и \( x = 2 \).
    • \n
\n\n

Ответ:

\n
    \n
  • Точки экстремума: точки минимума — \( x = -4, x = 2 \); точка максимума — \( x = -1 \).
    • \n
  • Наибольшее значение функции: \( 2 \) при \( x = -1 \).
    • \n
  • Наименьшее значение функции: \( -3 \) при \( x = -5, x = 2 \).
    • \n
4) График \( y = f_3(x) \) (Рис. 140, г))

Решение:

\n

Рассмотрим график функции \( y = f_3(x) \) на рисунке 140, г).

\n\n

1. Нахождение точек экстремума:

\n
    \n
  • Точки минимума: На графике функция имеет локальные минимумы в точках: \( x = -2 \) и \( x = 1 \).
    • \n
  • Точки максимума: На графике функция имеет локальный максимум в точке: \( x = -0,5 \) (приблизительно).
    • \n
\n\n

2. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции:

\n
    \n
  • Наибольшее значение: Самая высокая точка на графике. Это левый конец графика \((-3; 2)\). Таким образом, наибольшее значение функции равно \( 2 \), достигается при \( x = -3 \).
    • \n
  • Наименьшее значение: Самая низкая точка на графике. Это точка минимума \((1; -1)\). Таким образом, наименьшее значение функции равно \( -1 \), достигается при \( x = 1 \).
    • \n
\n\n

Ответ:

\n
    \n
  • Точки экстремума: точки минимума — \( x = -2, x = 1 \); точка максимума — \( x \approx -0,5 \).
    • \n
  • Наибольшее значение функции: \( 2 \) при \( x = -3 \).
    • \n
  • Наименьшее значение функции: \( -1 \) при \( x = 1 \).
    • \n

Что применять при решении

Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке
Пусть функция \(f(x)\) непрерывна на отрезке \([a; b]\). Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на этом отрезке необходимо выполнить следующие шаги:\n1) Найти значения функции на концах отрезка, т. е. числа \(f(a)\) и \(f(b)\).\n2) Найти её значения в тех критических точках, которые принадлежат интервалу \((a; b)\).\n3) Из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Критические точки - это точки, где производная \(f'(x)\) равна нулю или не существует.
Нахождение экстремумов функции
Точки экстремума (минимума и максимума) функции могут быть найдены среди её критических точек. Если при переходе через критическую точку производная \(f'(x)\) меняет знак с «+» на «−», то это точка максимума; если с «−» на «+», то это точка минимума.
Точки экстремума \(x_0\): \(f'(x_0) = 0\) или \(f'(x_0)\) не существует.

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 52

936 937 938 939 940 941 942 943 944 945 946 947 948 949 950 951 952
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.