ГДЗ: Упражнение 941 - § 52 (Наибольшее и наименьшее значения функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Составляем функцию, которую нужно минимизировать.

Пусть искомые положительные числа будут \( x \) и \( y \). По условию:

Произведение чисел: \( xy = 625 \implies y = \frac{625}{x} \).

Сумма квадратов: \( Q = x^2 + y^2 \).

Подставим \( y \):

\( Q(x) = x^2 + (\frac{625}{x})^2 = x^2 + \frac{625^2}{x^2} \).

Промежуток для \( x \) — \( (0; +\infty) \), так как числа положительные.

Шаг 2: Находим производную функции.

Перепишем функцию: \( Q(x) = x^2 + 625^2 x^{-2} \).

\( Q'(x) = (x^2 + 625^2 x^{-2})' = 2x - 2 \cdot 625^2 x^{-3} = 2x - \frac{2 \cdot 625^2}{x^3} \).

Шаг 3: Находим критические точки.

Приравниваем производную к нулю (учитывая, что \( x \neq 0 \)):

\( 2x - \frac{2 \cdot 625^2}{x^3} = 0 \)

\( 2x = \frac{2 \cdot 625^2}{x^3} \)

\( x^4 = 625^2 \)

Извлекаем корень (так как \( x > 0 \)):

\( x^2 = 625 \)

\( x = \sqrt{625} = 25 \).

Критическая точка: \( x = 25 \).

Шаг 4: Исследуем знак производной.

Приведём производную к общему знаменателю:

\( Q'(x) = \frac{2x^4 - 2 \cdot 625^2}{x^3} = \frac{2(x^4 - 625^2)}{x^3} \).

Так как \( x > 0 \), знаменатель \( x^3 > 0 \), поэтому знак \( Q'(x) \) совпадает со знаком \( x^4 - 625^2 \).

\n
• Если \( 0 < x < 25 \): \( x^4 < 625^2 \), значит \( Q'(x) < 0 \). Функция убывает.
\n
• Если \( x > 25 \): \( x^4 > 625^2 \), значит \( Q'(x) > 0 \). Функция возрастает.
\n

Поскольку при переходе через \( x = 25 \) производная меняет знак с «−» на «+», то \( x = 25 \) является точкой минимума. Следовательно, сумма квадратов будет наименьшей.

Шаг 5: Находим второе число.

При \( x = 25 \): \( y = \frac{625}{25} = 25 \).

Ответ: Число 625 должно быть записано как произведение чисел \( 25 \) и \( 25 \).