ГДЗ: Упражнение 950 - § 52 (Наибольшее и наименьшее значения функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Составляем функцию площади.

Рассмотрим прямоугольник \( OABD \), где \( O(0, 0) \) — начало координат.

\n
• Вторая вершина (согласно условию — это начало координат) — \( O(0, 0) \).
\n
• Одна вершина лежит на оси \( Ox \). Пусть это \( A(x, 0) \).
\n
• Вершина \( B \) лежит на оси \( Oy \). Но по условию «вторая — в начале координат», а «четвёртая — на параболе \( y = 3 - x^2 \)» и «третья — на положительной полуоси \( Oy \)» (хотя "третья — на положительной полуоси \( Oy \)" пропущено в задании, но подразумевается для формирования прямоугольника).
\n

Пусть вершины прямоугольника: \( O(0, 0) \), \( A(x, 0) \), \( C(x, y) \), \( D(0, y) \). Положительная полуось \( Oy \).

Тогда \( x \) — длина основания, \( y \) — высота.

Четвёртая вершина \( C(x, y) \) лежит на параболе \( y = 3 - x^2 \). Так как \( x \) и \( y \) должны быть положительными (для прямоугольника в первой четверти), то \( y > 0 \implies 3 - x^2 > 0 \implies x^2 < 3 \implies 0 < x < \sqrt{3} \).

Площадь прямоугольника: \( S = xy \).

Подставим \( y \):

\( S(x) = x(3 - x^2) = 3x - x^3 \).

Область определения: \( (0; \sqrt{3}) \).

Шаг 2: Находим производную функции площади.

\( S'(x) = (3x - x^3)' = 3 - 3x^2 \).

Шаг 3: Находим критические точки.

Приравниваем производную к нулю:

\( 3 - 3x^2 = 0 \implies 3x^2 = 3 \implies x^2 = 1 \).

Так как \( x > 0 \): \( x = 1 \).

Критическая точка: \( x = 1 \), которая принадлежит интервалу \( (0; \sqrt{3}) \).

Шаг 4: Исследуем знак производной.

\( S'(x) = 3(1 - x^2) = 3(1 - x)(1 + x) \).

На интервале \( (0; \sqrt{3}) \), \( 1 + x > 0 \). Знак \( S'(x) \) совпадает со знаком \( 1 - x \).

\n
• Если \( 0 < x < 1 \): \( 1 - x > 0 \). Значит, \( S'(x) > 0 \). Функция возрастает.
\n
• Если \( 1 < x < \sqrt{3} \): \( 1 - x < 0 \). Значит, \( S'(x) < 0 \). Функция убывает.
\n

Поскольку при переходе через \( x = 1 \) производная меняет знак с «+» на «−», то \( x = 1 \) является точкой максимума. Площадь будет наибольшей.

Шаг 5: Вычисляем наибольшую площадь.

При \( x = 1 \):

\( S_{max} = S(1) = 3(1) - (1)^3 = 3 - 1 = 2 \).

Соответствующая высота: \( y = 3 - x^2 = 3 - 1^2 = 2 \).

Ответ: Наибольшая площадь равна \( 2 \).