ГДЗ: Упражнение 946 - § 52 (Наибольшее и наименьшее значения функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Найдём наименьшее значение функции \( f(x) = e^{2x} - 3x \) на интервале \( (-1; 1) \).

Шаг 1: Находим производную функции.

Используем формулу \( (e^{kx})' = k e^{kx} \).

\( f'(x) = (e^{2x} - 3x)' = 2e^{2x} - 3 \).

Шаг 2: Находим критические точки.

Приравниваем производную к нулю:

\( 2e^{2x} - 3 = 0 \)

\( e^{2x} = \frac{3}{2} \)

Логарифмируем обе части по основанию \( e \):

\( 2x = \ln(\frac{3}{2}) \)

\( x = \frac{1}{2} \ln(\frac{3}{2}) \).

Шаг 3: Проверяем, принадлежит ли критическая точка интервалу.

Интервал \( (-1; 1) \). \( x_0 = \frac{1}{2} \ln(1,5) \). Так как \( 1 < 1,5 < e \approx 2,718 \), то \( 0 < \ln(1,5) < 1 \). Следовательно, \( 0 < x_0 < 0,5 \). Точка принадлежит интервалу.

Шаг 4: Исследуем знак производной.

\( f'(x) = 2e^{2x} - 3 \).

\n
• Если \( x < x_0 \), то \( 2x < \ln(\frac{3}{2}) \), \( e^{2x} < \frac{3}{2} \), \( 2e^{2x} < 3 \). Значит, \( f'(x) < 0 \). Функция убывает.
\n
• Если \( x > x_0 \), то \( 2x > \ln(\frac{3}{2}) \), \( e^{2x} > \frac{3}{2} \), \( 2e^{2x} > 3 \). Значит, \( f'(x) > 0 \). Функция возрастает.
\n

Поскольку при переходе через \( x_0 \) производная меняет знак с «−» на «+», то \( x_0 = \frac{1}{2} \ln(\frac{3}{2}) \) является точкой минимума, и в ней достигается наименьшее значение функции на данном интервале.

Шаг 5: Вычисляем наименьшее значение.

При \( x_0 = \frac{1}{2} \ln(\frac{3}{2}) \): \( 2x_0 = \ln(\frac{3}{2}) \), и \( e^{2x_0} = e^{\ln(\frac{3}{2})} = \frac{3}{2} \).

\( f(x_0) = e^{2x_0} - 3x_0 = \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{1}{2} \ln(\frac{3}{2}) = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \ln(\frac{3}{2}) \).

Ответ: Наименьшее значение: \( \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \ln(\frac{3}{2}) = 1,5(1 - \ln 1,5) \).

Найдём наименьшее значение функции \( f(x) = \frac{1}{x} + \ln x \) на интервале \( (0; 2) \).

Шаг 1: Находим производную функции.

\( f'(x) = (x^{-1} + \ln x)' = -x^{-2} + \frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2} + \frac{x}{x^2} = \frac{x - 1}{x^2} \).

Область определения функции и производной: \( x > 0 \). Интервал \( (0; 2) \) лежит в этой области.

Шаг 2: Находим критические точки.

Приравниваем производную к нулю (при \( x \neq 0 \)):

\( \frac{x - 1}{x^2} = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1 \).

Шаг 3: Проверяем, принадлежит ли критическая точка интервалу.

Интервал \( (0; 2) \). Так как \( 0 < 1 < 2 \), то \( x = 1 \) принадлежит интервалу.

Шаг 4: Исследуем знак производной.

Так как \( x > 0 \), знаменатель \( x^2 > 0 \). Знак \( f'(x) \) совпадает со знаком числителя \( x - 1 \).

\n
• Если \( 0 < x < 1 \): \( x - 1 < 0 \). Значит, \( f'(x) < 0 \). Функция убывает.
\n
• Если \( 1 < x < 2 \): \( x - 1 > 0 \). Значит, \( f'(x) > 0 \). Функция возрастает.
\n

Поскольку при переходе через \( x = 1 \) производная меняет знак с «−» на «+», то \( x = 1 \) является точкой минимума. Это и будет наименьшее значение функции на интервале.

Шаг 5: Вычисляем наименьшее значение.

При \( x = 1 \):

\( f(1) = \frac{1}{1} + \ln 1 = 1 + 0 = 1 \).

Ответ: Наименьшее значение: \( 1 \).