ГДЗ: Упражнение 945 - § 52 (Наибольшее и наименьшее значения функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Найдём наибольшее значение функции \( f(x) = \sqrt{3}x - x\sqrt{x} \) на промежутке \( (0; +\infty) \).

Шаг 1: Находим производную функции.

Перепишем функцию: \( f(x) = \sqrt{3}x - x^{3/2} \).

\( f'(x) = (\sqrt{3}x - x^{3/2})' = \sqrt{3} - \frac{3}{2} x^{1/2} = \sqrt{3} - \frac{3\sqrt{x}}{2} \).

Шаг 2: Находим критические точки.

Приравниваем производную к нулю:

\( \sqrt{3} - \frac{3\sqrt{x}}{2} = 0 \)

\( \frac{3\sqrt{x}}{2} = \sqrt{3} \)

\( 3\sqrt{x} = 2\sqrt{3} \)

\( \sqrt{x} = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}} \)

Возводим в квадрат:

\( x = (\frac{2}{\sqrt{3}})^2 = \frac{4}{3} \).

Критическая точка: \( x = \frac{4}{3} \), которая принадлежит промежутку \( (0; +\infty) \).

Шаг 3: Исследуем знак производной.

\( f'(x) = \sqrt{3} - \frac{3\sqrt{x}}{2} = \frac{2\sqrt{3} - 3\sqrt{x}}{2} \).

Так как \( x > 0 \), знаменатель \( 2 > 0 \). Знак \( f'(x) \) совпадает со знаком числителя \( 2\sqrt{3} - 3\sqrt{x} \).

Рассмотрим неравенство \( 2\sqrt{3} - 3\sqrt{x} > 0 \):

\( 2\sqrt{3} > 3\sqrt{x} \)

\( (2\sqrt{3})^2 > (3\sqrt{x})^2 \)

\( 12 > 9x \)

\( x < \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \).

\n
• Если \( 0 < x < \frac{4}{3} \): \( f'(x) > 0 \). Функция возрастает.
\n
• Если \( x > \frac{4}{3} \): \( f'(x) < 0 \). Функция убывает.
\n

Поскольку при переходе через \( x = \frac{4}{3} \) производная меняет знак с «+» на «−», то \( x = \frac{4}{3} \) является точкой максимума. Это и будет наибольшее значение функции на промежутке.

Шаг 4: Вычисляем наибольшее значение.

При \( x = \frac{4}{3} \):

\( f(\frac{4}{3}) = \sqrt{3} \cdot \frac{4}{3} - \frac{4}{3} \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} - \frac{8}{3\sqrt{3}} \).

Приведём к общему знаменателю \( 3\sqrt{3} \):

\( f(\frac{4}{3}) = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 8}{3\sqrt{3}} = \frac{4 \cdot 3 - 8}{3\sqrt{3}} = \frac{12 - 8}{3\sqrt{3}} = \frac{4}{3\sqrt{3}} \).

Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \):

\( f(\frac{4}{3}) = \frac{4\sqrt{3}}{9} \).

Ответ: Наибольшее значение: \( \frac{4\sqrt{3}}{9} \).

Найдём наибольшее значение функции \( f(x) = 3x - 2\sqrt{2x} \) на промежутке \( (0; +\infty) \).

Шаг 1: Находим производную функции.

Перепишем функцию: \( f(x) = 3x - 2(2x)^{1/2} \).

\( f'(x) = (3x - 2(2x)^{1/2})' = 3 - 2 \cdot \frac{1}{2} (2x)^{-1/2} \cdot 2 = 3 - 2 (2x)^{-1/2} = 3 - \frac{2}{\sqrt{2x}} \).

Шаг 2: Находим критические точки.

Приравниваем производную к нулю:

\( 3 - \frac{2}{\sqrt{2x}} = 0 \)

\( 3 = \frac{2}{\sqrt{2x}} \)

\( 3\sqrt{2x} = 2 \)

\( \sqrt{2x} = \frac{2}{3} \)

Возводим в квадрат:

\( 2x = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9} \)

\( x = \frac{4}{9} \div 2 = \frac{2}{9} \).

Критическая точка: \( x = \frac{2}{9} \), которая принадлежит промежутку \( (0; +\infty) \).

Шаг 3: Исследуем знак производной.

\( f'(x) = 3 - \frac{2}{\sqrt{2x}} = \frac{3\sqrt{2x} - 2}{\sqrt{2x}} \).

Так как \( x > 0 \), знаменатель \( \sqrt{2x} > 0 \). Знак \( f'(x) \) совпадает со знаком числителя \( 3\sqrt{2x} - 2 \).

Рассмотрим неравенство \( 3\sqrt{2x} - 2 > 0 \):

\( 3\sqrt{2x} > 2 \)

\( \sqrt{2x} > \frac{2}{3} \)

\( 2x > \frac{4}{9} \implies x > \frac{2}{9} \).

\n
• Если \( 0 < x < \frac{2}{9} \): \( f'(x) < 0 \). Функция убывает.
\n
• Если \( x > \frac{2}{9} \): \( f'(x) > 0 \). Функция возрастает.
\n

Поскольку при переходе через \( x = \frac{2}{9} \) производная меняет знак с «−» на «+», то \( x = \frac{2}{9} \) является точкой минимума. Это будет наименьшее значение функции на промежутке.

Шаг 4: Находим наибольшее значение.

Так как \( x = \frac{2}{9} \) — точка минимума, а функция после неё возрастает до \( +\infty \), наибольшего значения не существует, поскольку \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \).

Ответ: Наибольшее значение не существует. Функция имеет наименьшее значение: \( f(\frac{2}{9}) = 3(\frac{2}{9}) - 2\sqrt{2(\frac{2}{9})} = \frac{2}{3} - 2\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} - 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{2}{3} \).