ГДЗ: Упражнение 940 - § 52 (Наибольшее и наименьшее значения функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Составляем функцию, которую нужно минимизировать.

Пусть искомые числа будут \( x \) и \( y \). По условию:

Сумма чисел: \( x + y = 50 \implies y = 50 - x \).

Сумма кубов: \( S = x^3 + y^3 \).

Подставим \( y \):

\( S(x) = x^3 + (50 - x)^3 \).

Промежуток для \( x \) — вся числовая прямая \( (-\infty; +\infty) \), так как в условии не сказано, что числа должны быть положительными, целыми и т.д.

Шаг 2: Находим производную функции.

\( S'(x) = (x^3 + (50 - x)^3)' = 3x^2 + 3(50 - x)^2 \cdot (-1) \)

\( S'(x) = 3x^2 - 3(50 - x)^2 \).

Шаг 3: Находим критические точки.

Приравниваем производную к нулю:

\( 3x^2 - 3(50 - x)^2 = 0 \)

\( x^2 = (50 - x)^2 \)

Извлекаем корень. Это даёт два случая:

Случай 1: \( x = 50 - x \)

\( 2x = 50 \implies x = 25 \).

Случай 2: \( x = -(50 - x) \)

\( x = -50 + x \)

\( 0 = -50 \). Это уравнение не имеет решений, поэтому критическая точка только одна: \( x = 25 \).

Шаг 4: Исследуем знак производной.

Проверим знак \( S'(x) = 3x^2 - 3(50 - x)^2 = 3[x^2 - (50 - x)^2] = 3(x - (50 - x))(x + (50 - x)) \)

\( S'(x) = 3(2x - 50)(50) = 150(2x - 50) \).

\n
• Если \( x < 25 \), например \( x = 0 \): \( S'(0) = 150(-50) < 0 \). Функция убывает.
\n
• Если \( x > 25 \), например \( x = 50 \): \( S'(50) = 150(100 - 50) > 0 \). Функция возрастает.
\n

Поскольку при переходе через \( x = 25 \) производная меняет знак с «−» на «+», то \( x = 25 \) является точкой минимума. Это означает, что сумма кубов будет наименьшей.

Шаг 5: Находим второе число.

При \( x = 25 \): \( y = 50 - 25 = 25 \).

Сумма кубов \( S(25) = 25^3 + 25^3 = 2 \cdot 15625 = 31250 \).

Ответ: Число 50 должно быть записано как сумма чисел \( 25 \) и \( 25 \).