ГДЗ: Упражнение 948 - § 52 (Наибольшее и наименьшее значения функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Определяем размеры коробки и составляем функцию объёма.

Пусть \( x \) — длина стороны квадрата, вырезаемого по краям, что соответствует высоте коробки (рис. 141).

Исходный лист: квадрат со стороной \( a \).

После вырезания квадратов со стороной \( x \) по углам, основание коробки будет иметь форму квадрата со стороной \( a - 2x \).

Размеры коробки:

\n
• Высота: \( h = x \).
\n
• Длина основания: \( l = a - 2x \).
\n
• Ширина основания: \( w = a - 2x \).
\n

Объём коробки \( V \) равен произведению её измерений:

\( V = l \cdot w \cdot h = (a - 2x)^2 x = (a^2 - 4ax + 4x^2) x = 4x^3 - 4ax^2 + a^2x \).

Ограничения на \( x \): \( x > 0 \) (высота) и \( a - 2x > 0 \) (сторона основания). Отсюда \( 2x < a \), или \( x < \frac{a}{2} \). Область определения функции: \( (0; \frac{a}{2}) \).

Шаг 2: Находим производную функции объёма.

\( V'(x) = (4x^3 - 4ax^2 + a^2x)' = 12x^2 - 8ax + a^2 \).

Шаг 3: Находим критические точки.

Приравниваем производную к нулю: \( 12x^2 - 8ax + a^2 = 0 \).

Решаем квадратное уравнение относительно \( x \):

\( D = (-8a)^2 - 4(12)(a^2) = 64a^2 - 48a^2 = 16a^2 \).

\( x = \frac{-(-8a) \pm \sqrt{16a^2}}{2(12)} = \frac{8a \pm 4a}{24} \).

Два критических значения:

\( x_1 = \frac{8a + 4a}{24} = \frac{12a}{24} = \frac{a}{2} \).

\( x_2 = \frac{8a - 4a}{24} = \frac{4a}{24} = \frac{a}{6} \).

Шаг 4: Проверяем, принадлежат ли критические точки интервалу.

Интервал \( (0; \frac{a}{2}) \).

\n
• \( x_1 = \frac{a}{2} \) не принадлежит интервалу (это конец интервала). При \( x = \frac{a}{2} \), \( V(\frac{a}{2}) = 0 \).
\n
• \( x_2 = \frac{a}{6} \) принадлежит интервалу, так как \( 0 < \frac{a}{6} < \frac{a}{2} \).
\n

Шаг 5: Исследуем знак производной.

Производная \( V'(x) = 12(x - \frac{a}{6})(x - \frac{a}{2}) \). Это парабола ветвями вверх, корни: \( \frac{a}{6} \) и \( \frac{a}{2} \).

\n
• Если \( 0 < x < \frac{a}{6} \): \( V'(x) > 0 \). Функция возрастает.
\n
• Если \( \frac{a}{6} < x < \frac{a}{2} \): \( V'(x) < 0 \). Функция убывает.
\n

Поскольку при переходе через \( x = \frac{a}{6} \) производная меняет знак с «+» на «−», то \( x = \frac{a}{6} \) является точкой максимума. В этой точке объём будет наибольшим.

Ответ: Высота коробки должна быть равна \( \frac{a}{6} \).