ГДЗ: Упражнение 939 - § 52 (Наибольшее и наименьшее значения функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Найдём наименьшее значение функции \( f(x) = x^2 + \frac{16}{x^2} \) на промежутке \( (0; +\infty) \).

Шаг 1: Находим производную функции.

Перепишем функцию: \( f(x) = x^2 + 16x^{-2} \).

\( f'(x) = (x^2 + 16x^{-2})' = 2x - 32x^{-3} = 2x - \frac{32}{x^3} = \frac{2x^4 - 32}{x^3} = \frac{2(x^4 - 16)}{x^3} \).

Шаг 2: Находим критические точки.

Критические точки: \( f'(x) = 0 \) или \( f'(x) \) не существует. \( f'(x) \) не существует при \( x = 0 \), что не входит в промежуток \( (0; +\infty) \).

\( 2(x^4 - 16) = 0 \implies x^4 = 16 \).

В области \( (0; +\infty) \) это даёт: \( x = 2 \).

Шаг 3: Исследуем знак производной.

Проверим знак \( f'(x) = \frac{2(x^4 - 16)}{x^3} \) вблизи \( x = 2 \), учитывая, что \( x > 0 \). Знаменатель \( x^3 \) всегда положительный, поэтому знак \( f'(x) \) совпадает со знаком числителя \( x^4 - 16 \).

\n
• Если \( 0 < x < 2 \), например \( x = 1 \): \( f'(1) = \frac{2(1^4 - 16)}{1^3} = -30 < 0 \). Функция убывает.
\n
• Если \( x > 2 \), например \( x = 3 \): \( f'(3) = \frac{2(3^4 - 16)}{3^3} = \frac{2(81 - 16)}{27} = \frac{130}{27} > 0 \). Функция возрастает.
\n

Так как при переходе через \( x = 2 \) производная меняет знак с «−» на «+», то \( x = 2 \) является точкой минимума.

Шаг 4: Вычисляем значение функции в точке минимума.

\( f(2) = (2)^2 + \frac{16}{(2)^2} = 4 + \frac{16}{4} = 4 + 4 = 8 \).

Поскольку это единственная точка экстремума на промежутке, это и есть наименьшее значение функции. Наибольшего значения нет, так как \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty \) и \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \).

Ответ: Наименьшее значение: \( 8 \) (при \( x = 2 \)). Наибольшего значения не существует.

Найдём наибольшее (или наименьшее) значение функции \( f(x) = 2 - x^2 \) на промежутке \( (-\infty; 0) \).

Шаг 1: Находим производную функции.

\( f'(x) = (2 - x^2)' = -2x \).

Шаг 2: Находим критические точки.

\( f'(x) = 0 \implies -2x = 0 \implies x = 0 \).

Критическая точка \( x = 0 \) не принадлежит промежутку \( (-\infty; 0) \).

Шаг 3: Исследуем знак производной на промежутке \( (-\infty; 0) \).

На промежутке \( (-\infty; 0) \) имеем \( x < 0 \). Тогда \( f'(x) = -2x \). Поскольку \( x < 0 \), то \( -2x > 0 \). Следовательно, на промежутке \( (-\infty; 0) \) функция \( f(x) \) возрастает.

Шаг 4: Находим наибольшее/наименьшее значения.

Поскольку функция возрастает на промежутке \( (-\infty; 0) \):

\n
• Наибольшее значение будет достигаться при приближении \( x \) к правому концу промежутка, т.е. к \( x = 0 \).
\n

\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (2 - x^2) = 2 - 0 = 2 \).

\n

Так как точка \( x = 0 \) не входит в промежуток, наибольшее значение не достигается, но стремится к 2.

\n
• Наименьшее значение будет достигаться при приближении \( x \) к левому концу промежутка, т.е. к \( x = -\infty \).
\n

\( \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (2 - x^2) = 2 - (+\infty) = -\infty \).

\n

Наименьшего значения не существует.

\n

Ответ: Наибольшее значение не существует (стремится к 2). Наименьшее значение не существует.