ГДЗ: Упражнение 942 - § 52 (Наибольшее и наименьшее значения функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Составляем функцию, которую нужно максимизировать.

Пусть стороны прямоугольника равны \( x \) и \( y \). По условию:

Периметр: \( P = 2(x + y) = p \implies x + y = \frac{p}{2} \implies y = \frac{p}{2} - x \).

Площадь: \( S = xy \).

Подставим \( y \):

\( S(x) = x(\frac{p}{2} - x) = \frac{p}{2}x - x^2 \).

Так как \( x \) и \( y \) — длины сторон, они должны быть положительными: \( x > 0 \) и \( y > 0 \). Из \( y = \frac{p}{2} - x > 0 \) следует \( x < \frac{p}{2} \). Таким образом, область определения функции: \( (0; \frac{p}{2}) \).

Шаг 2: Находим производную функции.

\( S'(x) = (\frac{p}{2}x - x^2)' = \frac{p}{2} - 2x \).

Шаг 3: Находим критические точки.

Приравниваем производную к нулю:

\( \frac{p}{2} - 2x = 0 \)

\( 2x = \frac{p}{2} \implies x = \frac{p}{4} \).

Критическая точка \( x = \frac{p}{4} \), которая принадлежит промежутку \( (0; \frac{p}{2}) \).

Шаг 4: Исследуем знак производной.

\( S'(x) = \frac{p}{2} - 2x = 2(\frac{p}{4} - x) \).

\n
• Если \( 0 < x < \frac{p}{4} \): \( S'(x) > 0 \). Функция возрастает.
\n
• Если \( \frac{p}{4} < x < \frac{p}{2} \): \( S'(x) < 0 \). Функция убывает.
\n

Поскольку при переходе через \( x = \frac{p}{4} \) производная меняет знак с «+» на «−», то \( x = \frac{p}{4} \) является точкой максимума. Площадь будет наибольшей.

Шаг 5: Находим вторую сторону.

При \( x = \frac{p}{4} \): \( y = \frac{p}{2} - x = \frac{p}{2} - \frac{p}{4} = \frac{p}{4} \).

Так как \( x = y = \frac{p}{4} \), то искомый прямоугольник — это квадрат.

Ответ: Прямоугольник с наибольшей площадью — это квадрат со стороной \( \frac{p}{4} \).