ГДЗ: Упражнение 944 - § 52 (Наибольшее и наименьшее значения функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = \ln x - x \) на отрезке \( [\frac{1}{2}; 3] \).

Шаг 1: Находим производную функции.

\( f'(x) = (\ln x - x)' = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1 - x}{x} \).

Область определения функции и производной: \( x > 0 \). Отрезок \( [\frac{1}{2}; 3] \) лежит в этой области.

Шаг 2: Находим критические точки.

Приравниваем производную к нулю (при \( x \neq 0 \)):

\( \frac{1 - x}{x} = 0 \implies 1 - x = 0 \implies x = 1 \).

Шаг 3: Проверяем, принадлежит ли критическая точка отрезку.

Отрезок \( [\frac{1}{2}; 3] \). Так как \( 0,5 \le 1 \le 3 \), то \( x = 1 \) принадлежит отрезку.

Шаг 4: Вычисляем значения функции в критической точке и на концах отрезка.

\n
• На концах отрезка:
\n

\( f(\frac{1}{2}) = \ln(\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} = \ln 1 - \ln 2 - 0,5 = 0 - \ln 2 - 0,5 \approx -0,7 - 0,5 = -1,2 \).

\n

\( f(3) = \ln 3 - 3 \approx 1,0986 - 3 = -1,9014 \).

\n
• В критической точке:
\n

\( f(1) = \ln 1 - 1 = 0 - 1 = -1 \).

\n

Шаг 5: Сравниваем полученные значения.

Значения функции: \( -\ln 2 - 0,5 \approx -1,2 \), \( \ln 3 - 3 \approx -1,9 \), \( -1 \).

\n
• Наибольшее значение: \( -1 \) (при \( x = 1 \)).
\n
• Наименьшее значение: \( \ln 3 - 3 \) (при \( x = 3 \)).
\n

Ответ: Наибольшее значение: \( -1 \); Наименьшее значение: \( \ln 3 - 3 \).

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = x + e^x \) на отрезке \([-1; 2]\).

Шаг 1: Находим производную функции.

\( f'(x) = (x + e^x)' = 1 + e^x \).

Шаг 2: Находим критические точки.

Приравниваем производную к нулю:

\( 1 + e^x = 0 \)

\( e^x = -1 \).

Это уравнение не имеет решений, так как \( e^x > 0 \) для всех \( x \). Следовательно, критических точек нет.

Шаг 3: Исследуем монотонность.

Поскольку \( e^x > 0 \), то \( f'(x) = 1 + e^x > 1 \), то есть производная всегда положительна. Это означает, что функция \( f(x) \) строго возрастает на всём отрезке \([-1; 2]\).

Шаг 4: Вычисляем значения функции на концах отрезка.

Так как функция возрастает, наименьшее значение достигается на левом конце, а наибольшее — на правом.

\n
• Наименьшее значение (при \( x = -1 \)):
\n

\( f(-1) = -1 + e^{-1} = -1 + \frac{1}{e} \).

\n
• Наибольшее значение (при \( x = 2 \)):
\n

\( f(2) = 2 + e^2 \).

\n

Шаг 5: Сравниваем полученные значения.

Наибольшее значение: \( 2 + e^2 \approx 2 + 7,389 = 9,389 \).

Наименьшее значение: \( -1 + \frac{1}{e} \approx -1 + 0,368 = -0,632 \).

Ответ: Наибольшее значение: \( 2 + e^2 \); Наименьшее значение: \( -1 + \frac{1}{e} \).

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = 2 \cos x - \cos 2x \) на отрезке \( [0; \pi] \).

Шаг 1: Находим производную функции.

Используем формулу \( (\cos 2x)' = -\sin 2x \cdot (2x)' = -2 \sin 2x \).

\( f'(x) = (2 \cos x - \cos 2x)' = -2 \sin x - (-2 \sin 2x) = 2 \sin 2x - 2 \sin x \).

Шаг 2: Находим критические точки.

Приравниваем производную к нулю:

\( 2 \sin 2x - 2 \sin x = 0 \)

\( 2 (2 \sin x \cos x) - 2 \sin x = 0 \)

\( 4 \sin x \cos x - 2 \sin x = 0 \)

\( 2 \sin x (2 \cos x - 1) = 0 \)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

\n
• Случай 1: \( \sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
\n
• Случай 2: \( 2 \cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \).
\n

Шаг 3: Проверяем, принадлежат ли критические точки отрезку.

Отрезок \( [0; \pi] \).

\n
• Из \( x = \pi n \): \( x = 0 \) (при \( n = 0 \)), \( x = \pi \) (при \( n = 1 \)). Оба на концах отрезка.
\n
• Из \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \): \( x = \frac{\pi}{3} \) (при \( n = 0 \)). Так как \( 0 < \frac{\pi}{3} < \pi \), то \( x = \frac{\pi}{3} \) принадлежит отрезку.
\n

Критические точки: \( x = 0, x = \pi, x = \frac{\pi}{3} \).

Шаг 4: Вычисляем значения функции.

\n
• На концах отрезка:
\n

\( f(0) = 2 \cos 0 - \cos (2 \cdot 0) = 2(1) - 1 = 1 \).

\n

\( f(\pi) = 2 \cos \pi - \cos (2 \pi) = 2(-1) - 1 = -3 \).

\n
• В критической точке:
\n

\( f(\frac{\pi}{3}) = 2 \cos (\frac{\pi}{3}) - \cos (2 \cdot \frac{\pi}{3}) = 2(\frac{1}{2}) - \cos (\frac{2\pi}{3}) = 1 - (-\frac{1}{2}) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1,5 \).

\n

Шаг 5: Сравниваем полученные значения.

Значения функции: \( 1, -3, 1,5 \).

\n
• Наибольшее значение: \( \frac{3}{2} \) (при \( x = \frac{\pi}{3} \)).
\n
• Наименьшее значение: \( -3 \) (при \( x = \pi \)).
\n

Ответ: Наибольшее значение: \( \frac{3}{2} \); Наименьшее значение: \( -3 \).