ГДЗ: Упражнение 937 - § 52 (Наибольшее и наименьшее значения функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x \) на отрезке \([-4; 3]\).

Шаг 1: Находим производную функции.

Производная функции \( f(x) \) равна:

\( f'(x) = (2x^3 + 3x^2 - 36x)' = 6x^2 + 6x - 36 \).

Шаг 2: Находим критические точки.

Критические точки — это точки, где \( f'(x) = 0 \):

\( 6x^2 + 6x - 36 = 0 \)

Разделим уравнение на 6:

\( x^2 + x - 6 = 0 \)

Найдём корни квадратного уравнения (например, по теореме Виета или через дискриминант):

\( D = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \)

\( x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \)

Получаем две критические точки: \( x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = -3 \).

Шаг 3: Проверяем, принадлежат ли критические точки отрезку.

Отрезок \([-4; 3]\).

\n
• \( x_1 = 2 \). Так как \( -4 \le 2 \le 3 \), то \( x = 2 \) принадлежит отрезку.
\n
• \( x_2 = -3 \). Так как \( -4 \le -3 \le 3 \), то \( x = -3 \) принадлежит отрезку.
\n

Шаг 4: Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка.

\n
• На концах отрезка:
\n

\( f(-4) = 2(-4)^3 + 3(-4)^2 - 36(-4) = 2(-64) + 3(16) + 144 = -128 + 48 + 144 = 64 \).

\n

\( f(3) = 2(3)^3 + 3(3)^2 - 36(3) = 2(27) + 3(9) - 108 = 54 + 27 - 108 = -27 \).

\n
• В критических точках:
\n

\( f(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 36(-3) = 2(-27) + 3(9) + 108 = -54 + 27 + 108 = 81 \).

\n

\( f(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 36(2) = 2(8) + 3(4) - 72 = 16 + 12 - 72 = -44 \).

\n

Шаг 5: Сравниваем полученные значения.

Значения функции: \( 64, -27, 81, -44 \).

\n
• Наибольшее значение: \( 81 \) (при \( x = -3 \)).
\n
• Наименьшее значение: \( -44 \) (при \( x = 2 \)).
\n

Ответ: Наибольшее значение: \( 81 \); Наименьшее значение: \( -44 \).

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x \) на отрезке \([-2; 1]\).

Шаг 1 и 2: Находим производную и критические точки.

Как и в варианте 1, производная \( f'(x) = 6x^2 + 6x - 36 \). Критические точки: \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -3 \).

Шаг 3: Проверяем, принадлежат ли критические точки отрезку.

Отрезок \([-2; 1]\).

\n
• \( x_1 = 2 \). Так как \( 2 > 1 \), то \( x = 2 \) не принадлежит отрезку.
\n
• \( x_2 = -3 \). Так как \( -3 < -2 \), то \( x = -3 \) не принадлежит отрезку.
\n

Следовательно, на интервале \((-2; 1)\) нет критических точек, и наибольшее/наименьшее значения будут достигаться на концах отрезка.

Шаг 4: Вычисляем значения функции на концах отрезка.

\n
• На концах отрезка:
\n

\( f(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 36(-2) = 2(-8) + 3(4) + 72 = -16 + 12 + 72 = 68 \).

\n

\( f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 36(1) = 2 + 3 - 36 = -31 \).

\n

Шаг 5: Сравниваем полученные значения.

Значения функции: \( 68, -31 \).

\n
• Наибольшее значение: \( 68 \) (при \( x = -2 \)).
\n
• Наименьшее значение: \( -31 \) (при \( x = 1 \)).
\n

Ответ: Наибольшее значение: \( 68 \); Наименьшее значение: \( -31 \).