ГДЗ: Упражнение 938 - § 52 (Наибольшее и наименьшее значения функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = x^4 - 8x^2 + 5 \) на отрезке \([-3; 2]\).

Шаг 1: Находим производную функции.

\( f'(x) = (x^4 - 8x^2 + 5)' = 4x^3 - 16x \).

Шаг 2: Находим критические точки.

Приравниваем производную к нулю:

\( 4x^3 - 16x = 0 \)

\( 4x(x^2 - 4) = 0 \)

\( 4x(x - 2)(x + 2) = 0 \)

Критические точки: \( x_1 = 0, x_2 = 2, x_3 = -2 \).

Шаг 3: Проверяем, принадлежат ли критические точки отрезку.

Отрезок \([-3; 2]\).

Все три точки \( x = 0, x = 2, x = -2 \) принадлежат отрезку \([-3; 2]\). Заметим, что \( x = 2 \) является также и правым концом отрезка.

Шаг 4: Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка.

\n
• На концах отрезка:
\n

\( f(-3) = (-3)^4 - 8(-3)^2 + 5 = 81 - 8(9) + 5 = 81 - 72 + 5 = 14 \).

\n

\( f(2) = (2)^4 - 8(2)^2 + 5 = 16 - 8(4) + 5 = 16 - 32 + 5 = -11 \).

\n
• В критических точках (кроме \( x=2 \)):
\n

\( f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 5 = 16 - 8(4) + 5 = 16 - 32 + 5 = -11 \).

\n

\( f(0) = (0)^4 - 8(0)^2 + 5 = 5 \).

\n

Шаг 5: Сравниваем полученные значения.

Значения функции: \( 14, -11, -11, 5 \).

\n
• Наибольшее значение: \( 14 \) (при \( x = -3 \)).
\n
• Наименьшее значение: \( -11 \) (при \( x = -2 \) и \( x = 2 \)).
\n

Ответ: Наибольшее значение: \( 14 \); Наименьшее значение: \( -11 \).

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = x + \frac{1}{x} \) на отрезке \([-2; -0,5]\).

Шаг 1: Находим производную функции.

Перепишем функцию: \( f(x) = x + x^{-1} \).

Производная функции \( f(x) \):

\( f'(x) = (x + x^{-1})' = 1 - x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2} \).

Шаг 2: Находим критические точки.

Критические точки — это точки, где \( f'(x) = 0 \) или \( f'(x) \) не существует. Производная не существует при \( x = 0 \), но \( x = 0 \) не принадлежит отрезку \([-2; -0,5]\).

Приравниваем производную к нулю:

\( \frac{x^2 - 1}{x^2} = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \)

\( (x - 1)(x + 1) = 0 \)

Критические точки: \( x_1 = 1, x_2 = -1 \).

Шаг 3: Проверяем, принадлежат ли критические точки отрезку.

Отрезок \([-2; -0,5]\).

\n
• \( x_1 = 1 \). Так как \( 1 > -0,5 \), то \( x = 1 \) не принадлежит отрезку.
\n
• \( x_2 = -1 \). Так как \( -2 \le -1 \le -0,5 \), то \( x = -1 \) принадлежит отрезку.
\n

Шаг 4: Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка.

Значения в критической точке \( x = -1 \) и на концах отрезка \( x = -2, x = -0,5 = -\frac{1}{2} \):

\n
• На концах отрезка:
\n

\( f(-2) = -2 + \frac{1}{-2} = -2 - 0,5 = -2,5 \).

\n

\( f(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -0,5 - 2 = -2,5 \).

\n
• В критической точке:
\n

\( f(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -1 - 1 = -2 \).

\n

Шаг 5: Сравниваем полученные значения.

Значения функции: \( -2,5, -2,5, -2 \).

\n
• Наибольшее значение: \( -2 \) (при \( x = -1 \)).
\n
• Наименьшее значение: \( -2,5 \) (при \( x = -2 \) и \( x = -0,5 \)).
\n

Ответ: Наибольшее значение: \( -2 \); Наименьшее значение: \( -2,5 \).

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = \sin x + \cos x \) на отрезке \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}] \).

Шаг 1: Находим производную функции.

\( f'(x) = (\sin x + \cos x)' = \cos x - \sin x \).

Шаг 2: Находим критические точки.

Приравниваем производную к нулю:

\( \cos x - \sin x = 0 \)

\( \cos x = \sin x \)

Разделим на \( \cos x \) (при условии \( \cos x \neq 0 \)):

\( \tan x = 1 \)

Общее решение: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 3: Проверяем, принадлежат ли критические точки отрезку.

Отрезок \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}] \).

\n
• При \( n = 0 \): \( x = \frac{\pi}{4} \). Так как \( -\frac{\pi}{2} = -0,5\pi \le 0,25\pi \le 1,5\pi = \frac{3\pi}{2} \), то \( x = \frac{\pi}{4} \) принадлежит отрезку.
\n
• При \( n = 1 \): \( x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4} \). Так как \( -0,5\pi \le 1,25\pi \le 1,5\pi \), то \( x = \frac{5\pi}{4} \) принадлежит отрезку.
\n
• При \( n = -1 \): \( x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4} \). Так как \( -0,75\pi < -0,5\pi \), то \( x = -\frac{3\pi}{4} \) не принадлежит отрезку.
\n
• При \( n = 2 \): \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} \). Так как \( 2,25\pi > 1,5\pi \), то \( x = \frac{9\pi}{4} \) не принадлежит отрезку.
\n

Критические точки, принадлежащие отрезку: \( x_1 = \frac{\pi}{4} \) и \( x_2 = \frac{5\pi}{4} \).

Шаг 4: Вычисляем значения функции.

Для упрощения вычислений функцию можно представить как: \( f(x) = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) \).

\n
• На концах отрезка:
\n

\( f(-\frac{\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2}) + \cos(-\frac{\pi}{2}) = -1 + 0 = -1 \).

\n

\( f(\frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) + \cos(\frac{3\pi}{2}) = -1 + 0 = -1 \).

\n
• В критических точках:
\n

\( f(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \approx 1,414 \).

\n

\( f(\frac{5\pi}{4}) = \sin(\frac{5\pi}{4}) + \cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2} \approx -1,414 \).

\n

Шаг 5: Сравниваем полученные значения.

Значения функции: \( -1, -1, \sqrt{2}, -\sqrt{2} \).

\n
• Наибольшее значение: \( \sqrt{2} \) (при \( x = \frac{\pi}{4} \)).
\n
• Наименьшее значение: \( -\sqrt{2} \) (при \( x = \frac{5\pi}{4} \)).
\n

Ответ: Наибольшее значение: \( \sqrt{2} \); Наименьшее значение: \( -\sqrt{2} \).