ГДЗ: Упражнение 943 - § 52 (Наибольшее и наименьшее значения функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Составляем функцию, которую нужно минимизировать.

Пусть стороны прямоугольника равны \( x \) и \( y \). По условию:

Площадь: \( S = xy = 9 \implies y = \frac{9}{x} \).

Периметр: \( P = 2(x + y) \).

Подставим \( y \):

\( P(x) = 2(x + \frac{9}{x}) = 2x + \frac{18}{x} \).

Промежуток для \( x \) — \( (0; +\infty) \), так как \( x \) — длина стороны.

Шаг 2: Находим производную функции.

Перепишем функцию: \( P(x) = 2x + 18x^{-1} \).

\( P'(x) = (2x + 18x^{-1})' = 2 - 18x^{-2} = 2 - \frac{18}{x^2} = \frac{2x^2 - 18}{x^2} = \frac{2(x^2 - 9)}{x^2} \).

Шаг 3: Находим критические точки.

Приравниваем производную к нулю (учитывая, что \( x \neq 0 \)):

\( 2(x^2 - 9) = 0 \implies x^2 = 9 \)

Так как \( x > 0 \): \( x = 3 \).

Критическая точка: \( x = 3 \).

Шаг 4: Исследуем знак производной.

Так как \( x > 0 \), знаменатель \( x^2 > 0 \), поэтому знак \( P'(x) \) совпадает со знаком числителя \( 2(x^2 - 9) \).

\n
• Если \( 0 < x < 3 \): \( x^2 < 9 \), значит \( P'(x) < 0 \). Функция убывает.
\n
• Если \( x > 3 \): \( x^2 > 9 \), значит \( P'(x) > 0 \). Функция возрастает.
\n

Поскольку при переходе через \( x = 3 \) производная меняет знак с «−» на «+», то \( x = 3 \) является точкой минимума. Периметр будет наименьшим.

Шаг 5: Находим вторую сторону.

При \( x = 3 \): \( y = \frac{9}{3} = 3 \).

Так как \( x = y = 3 \text{ см} \), то искомый прямоугольник — это квадрат.

Ответ: Прямоугольник с наименьшим периметром — это квадрат со стороной \( 3 \text{ см} \).