ГДЗ: Упражнение 952 - § 52 (Наибольшее и наименьшее значения функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Составляем функцию площади поперечного сечения.

Поперечное сечение жёлоба представляет собой равнобедренную трапецию. Пусть \( a \) — одинаковая ширина каждой доски (постоянная величина). Тогда \( a \) — длины боковых сторон и основания трапеции.

Пусть \( \alpha \) — угол наклона боковых стенок к основанию. Это угол при нижнем основании трапеции.

Размеры трапеции:

\n
• Нижнее основание: \( b_1 = a \).
\n
• Боковые стороны: \( a \).
\n
• Высота трапеции \( h \). Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, боковой стороной и частью нижнего основания: \( h = a \sin \alpha \).
\n
• Проекция боковой стороны на нижнее основание: \( x = a \cos \alpha \).
\n
• Верхнее основание: \( b_2 = a + 2x = a + 2a \cos \alpha = a(1 + 2 \cos \alpha) \).
\n

Площадь трапеции \( S \) (площадь поперечного сечения) равна:

\( S = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h = \frac{a + a(1 + 2 \cos \alpha)}{2} \cdot a \sin \alpha \)

\( S(\alpha) = \frac{a(2 + 2 \cos \alpha)}{2} \cdot a \sin \alpha = a^2 (1 + \cos \alpha) \sin \alpha \).

Угол \( \alpha \) должен удовлетворять условию: \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \) (так как при \( \alpha = 0 \) жёлоб превратится в плоскую доску, а при \( \alpha = \frac{\pi}{2} \) в прямоугольник, но не в жёлоб из трёх досок).

Шаг 2: Находим производную функции площади.

Для удобства, пусть \( k = a^2 \) (константа).

\( S'(\alpha) = k \cdot [(1 + \cos \alpha) \sin \alpha]' \)

Используем правило производной произведения:

\( S'(\alpha) = k \cdot [(1 + \cos \alpha)' \sin \alpha + (1 + \cos \alpha) (\sin \alpha)'] \)

\( S'(\alpha) = k \cdot [(-\sin \alpha) \sin \alpha + (1 + \cos \alpha) \cos \alpha] \)

\( S'(\alpha) = k \cdot [-\sin^2 \alpha + \cos \alpha + \cos^2 \alpha] \)

Используем тригонометрическое тождество \( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha \):

\( S'(\alpha) = k \cdot [\cos 2\alpha + \cos \alpha] \).

Шаг 3: Находим критические точки.

Приравниваем производную к нулю (поскольку \( k = a^2 \neq 0 \)):

\( \cos 2\alpha + \cos \alpha = 0 \)

Используем формулу суммы косинусов: \( \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} \):

\( 2 \cos \frac{2\alpha + \alpha}{2} \cos \frac{2\alpha - \alpha}{2} = 0 \)

\( 2 \cos \frac{3\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} = 0 \).

На интервале \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \):

\n
• Множитель \( \cos \frac{\alpha}{2} \) всегда положителен, так как \( 0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4} \).
\n
• Приравниваем к нулю: \( \cos \frac{3\alpha}{2} = 0 \).
\n

Общее решение: \( \frac{3\alpha}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).

\n

\( \alpha = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3} \).

\n

На интервале \( (0; \frac{\pi}{2}) \):

\n
• При \( n = 0 \): \( \alpha = \frac{\pi}{3} \). Так как \( 0 < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} \), то \( \alpha = \frac{\pi}{3} \) — критическая точка.
\n
• При \( n = 1 \): \( \alpha = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi \). Не принадлежит интервалу.
\n

Критическая точка: \( \alpha = \frac{\pi}{3} \).

Шаг 4: Исследуем знак производной.

Проверим знак \( S'(\alpha) = k \cdot 2 \cos \frac{3\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \). Знак \( S'(\alpha) \) совпадает со знаком \( \cos \frac{3\alpha}{2} \).

Поскольку \( \frac{3\alpha}{2} \) возрастает от \( 0 \) до \( \frac{3\pi}{4} \) при \( \alpha \in (0; \frac{\pi}{2}) \).

Косинус положителен на \( (0; \frac{\pi}{2}) \) и отрицателен на \( (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}) \).

Точка \( \alpha = \frac{\pi}{3} \) соответствует \( \frac{3\alpha}{2} = \frac{\pi}{2} \).

\n
• Если \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{3} \): \( 0 < \frac{3\alpha}{2} < \frac{\pi}{2} \). Значит, \( \cos \frac{3\alpha}{2} > 0 \). Функция возрастает.
\n
• Если \( \frac{\pi}{3} < \alpha < \frac{\pi}{2} \): \( \frac{\pi}{2} < \frac{3\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4} \). Значит, \( \cos \frac{3\alpha}{2} < 0 \). Функция убывает.
\n

Поскольку при переходе через \( \alpha = \frac{\pi}{3} \) производная меняет знак с «+» на «−», то \( \alpha = \frac{\pi}{3} \) является точкой максимума. Площадь будет наибольшей.

Ответ: Площадь поперечного сечения жёлоба будет наибольшей при угле наклона \( \alpha = \frac{\pi}{3} \) (\( 60^\circ \)).