Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 5 / Задание 55

ГДЗ: Упражнение 55 - § 5 (Степень с рациональным и действительным показателями) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 24, 30-35

Глава:	Глава 1
Параграф:	§ 5 - Степень с рациональным и действительным показателями
Учебник:	Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор:	Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год:	2025
Издание:

55 упражнение:

(Устно.) Представить в виде степени с рациональным показателем:

1) \( \sqrt{x^3} \)

Используем определение степени с рациональным показателем: \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \).

Шаг 1: Представим корень в виде степени. Квадратный корень имеет показатель \( n=2 \), а показатель подкоренного выражения \( x^3 \) равен \( m=3 \).
Шаг 2: Записываем степень с рациональным показателем.

Решение: \( \sqrt{x^3} = \sqrt[2]{x^3} = x^{\frac{3}{2}} \)

Ответ: \( x^{\frac{3}{2}} \)

2) \( \sqrt[3]{a^4} \)

Используем определение степени с рациональным показателем: \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \).

Шаг 1: Определяем показатели. Показатель корня \( n=3 \), показатель подкоренного выражения \( a^4 \) равен \( m=4 \).
Шаг 2: Записываем степень с рациональным показателем.

Решение: \( \sqrt[3]{a^4} = a^{\frac{4}{3}} \)

Ответ: \( a^{\frac{4}{3}} \)

3) \( \sqrt[4]{b^3} \)

Используем определение степени с рациональным показателем: \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \).

Шаг 1: Определяем показатели. Показатель корня \( n=4 \), показатель подкоренного выражения \( b^3 \) равен \( m=3 \).
Шаг 2: Записываем степень с рациональным показателем.

Решение: \( \sqrt[4]{b^3} = b^{\frac{3}{4}} \)

Ответ: \( b^{\frac{3}{4}} \)

4) \( \sqrt[5]{x^{-1}} \)

Используем определение степени с рациональным показателем: \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \).

Шаг 1: Определяем показатели. Показатель корня \( n=5 \), показатель подкоренного выражения \( x^{-1} \) равен \( m=-1 \).
Шаг 2: Записываем степень с рациональным показателем.

Решение: \( \sqrt[5]{x^{-1}} = x^{\frac{-1}{5}} = x^{-\frac{1}{5}} \)

Ответ: \( x^{-\frac{1}{5}} \)

5) \( \sqrt{6a} \)

Используем определение степени с рациональным показателем: \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \).

Шаг 1: Определяем показатели. Квадратный корень имеет показатель \( n=2 \). Показатель всего подкоренного выражения \( 6a \) равен \( m=1 \).
Шаг 2: Записываем степень с рациональным показателем.

Решение: \( \sqrt{6a} = \sqrt[2]{(6a)^1} = (6a)^{\frac{1}{2}} \)

Ответ: \( (6a)^{\frac{1}{2}} \)

6) \( \sqrt[3]{b^{-3}} \)

Используем определение степени с рациональным показателем: \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \).

Шаг 1: Определяем показатели. Показатель корня \( n=3 \), показатель подкоренного выражения \( b^{-3} \) равен \( m=-3 \).
Шаг 2: Записываем степень с рациональным показателем и упрощаем.

Решение: \( \sqrt[3]{b^{-3}} = b^{\frac{-3}{3}} = b^{-1} \)

Ответ: \( b^{-1} \)

Что применять при решении

Определение степени с рациональным показателем

Если \( a > 0 \), \( m \) - целое число, а \( n \) - натуральное число (\( n \ge 2 \)), то степень \( a^{\frac{m}{n}} \) определяется как \( \sqrt[n]{a^m} \).

\( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \)

Свойства степени с рациональным показателем

Для любых рациональных показателей \( p \) и \( q \) и любых положительных чисел \( a \) и \( b \) выполняются свойства степеней:

\( a^p \cdot a^q = a^{p+q}; \quad \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}; \quad (a^p)^q = a^{pq}; \quad (ab)^p = a^p b^p; \quad \left( \frac{a}{b} \right)^p = \frac{a^p}{b^p} \)

Формулы разности квадратов и разности кубов

Для разложения выражений на множители используются формулы сокращенного умножения, применимые и для рациональных показателей:

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b); \quad a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2); \quad a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)

Сравнение степеней

Если \( a > 1 \), то из неравенства \( x_1 < x_2 \) следует \( a^{x_1} < a^{x_2} \). Если \( 0 < a < 1 \), то из неравенства \( x_1 < x_2 \) следует \( a^{x_1} > a^{x_2} \).

\( \text{Если } a > 1 \text{, то } x_1 < x_2 \implies a^{x_1} < a^{x_2}; \quad \text{Если } 0 < a < 1 \text{, то } x_1 < x_2 \implies a^{x_1} > a^{x_2} \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность

Готовый файл Word

15-30 страниц

Список источников по ГОСТ

Оформление по ГОСТ

Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 5

55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.