ГДЗ: Упражнение 69 - § 5 (Степень с рациональным и действительным показателями) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Приведем все основания к числу 2: \( 8 = 2^3 \).

• Шаг 1: Представим \( 8^{-\sqrt{3}} = (2^3)^{-\sqrt{3}} = 2^{-3\sqrt{3}} \).
• Шаг 2: Применим свойство \( a^p \cdot a^q = a^{p+q} \).

Решение: \( 2^{2\sqrt{3}} \cdot 8^{-\sqrt{3}} = 2^{2\sqrt{3}} \cdot 2^{-3\sqrt{3}} = 2^{2\sqrt{3} - 3\sqrt{3}} = 2^{-\sqrt{3}} \)

Ответ: \( 2^{-\sqrt{3}} \) или \( \frac{1}{2^{\sqrt{3}}} \)

Приведем все основания к числу 3: \( 9 = 3^2 \).

• Шаг 1: Представим \( 9^{\sqrt{2}} = (3^2)^{\sqrt{2}} = 3^{2\sqrt{2}} \).
• Шаг 2: Применим свойство \( a^p \div a^q = a^{p-q} \).

Решение: \( 3^{1+2\sqrt{2}} \div 9^{\sqrt{2}} = 3^{1+2\sqrt{2}} \div 3^{2\sqrt{2}} = 3^{(1+2\sqrt{2}) - 2\sqrt{2}} = 3^1 = 3 \)

Ответ: \( 3 \)

Используем свойства \((a^p)^q = a^{pq}\) и \( a^p \cdot a^q = a^{p+q} \).

• Шаг 1: Раскроем скобки в первом множителе: \( (5^{1+\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = 5^{(1+\sqrt{2})\sqrt{2}} = 5^{\sqrt{2} + 2} \).
• Шаг 2: Умножим на \( 5^{-\sqrt{2}} \), сложив показатели.

Решение: \( (5^{1+\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} \cdot 5^{-\sqrt{2}} = 5^{\sqrt{2} + 2} \cdot 5^{-\sqrt{2}} = 5^{(\sqrt{2} + 2) - \sqrt{2}} = 5^2 = 25 \)

Ответ: \( 25 \)

Используем свойства \((a^p)^q = a^{pq}\) и \( a^0 = 1 \).

• Шаг 1: Упростим второй множитель: \( (\sqrt{5})^0 = 1 \).
• Шаг 2: Раскроем скобки в первом множителе: \( (5^{1-\sqrt{5}})^{\sqrt{5}} = 5^{(1-\sqrt{5})\sqrt{5}} = 5^{\sqrt{5} - 5} \).

Решение: \( (5^{1-\sqrt{5}})^{\sqrt{5}} \cdot (\sqrt{5})^0 = 5^{\sqrt{5} - 5} \cdot 1 = 5^{\sqrt{5} - 5} \)

Ответ: \( 5^{\sqrt{5} - 5} \)