ГДЗ: Упражнение 75 - § 5 (Степень с рациональным и действительным показателями) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Приведем числа к одному основанию или одному показателю.

• Шаг 1: Приведем \( \sqrt{3} \) к степени с основанием 3: \( \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} = 3^{0,5} \).
• Шаг 2: Сравним показатели \( \sqrt{2} \) и \( 0,5 \).

Решение:
Сравниваем \( 3^{\sqrt{2}} \) и \( 3^{0,5} \).
Основание \( a=3 > 1 \), значит, больше та степень, у которой больше показатель.
Сравним показатели: \( \sqrt{2} \approx 1,414 \). \( 0,5 \).
\( \sqrt{2} > 0,5 \).
Следовательно, \( 3^{\sqrt{2}} > 3^{0,5} \), то есть \( 3^{\sqrt{2}} > \sqrt{3} \).

Ответ: \( 3^{\sqrt{2}} \) больше, чем \( \sqrt{3} \).

Приведем числа к одному основанию 2.

• Шаг 1: Преобразуем первое число: \( \sqrt[5]{2} = 2^{\frac{1}{5}} = 2^{0,2} \).
• Шаг 2: Преобразуем второе число: \( 4^{\sqrt{0,2}} = (2^2)^{\sqrt{0,2}} = 2^{2\sqrt{0,2}} = 2^{\sqrt{4 \cdot 0,2}} = 2^{\sqrt{0,8}} \).
• Шаг 3: Сравним показатели: \( 0,2 \) и \( \sqrt{0,8} \).

Решение:
Сравниваем \( 2^{0,2} \) и \( 2^{\sqrt{0,8}} \).
Основание \( a=2 > 1 \).
Сравним показатели:
\( (0,2)^2 = 0,04 \).
\( (\sqrt{0,8})^2 = 0,8 \).
Поскольку \( 0,04 < 0,8 \), то \( 0,2 < \sqrt{0,8} \).
Следовательно, \( 2^{0,2} < 2^{\sqrt{0,8}} \), то есть \( \sqrt[5]{2} < 4^{\sqrt{0,2}} \).

Ответ: \( 4^{\sqrt{0,2}} \) больше, чем \( \sqrt[5]{2} \).