ГДЗ: Упражнение 65 - § 5 (Степень с рациональным и действительным показателями) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем формулу разности кубов \( A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2) \). Представим \( a \) и \( x \) как кубы других выражений.

• Шаг 1: Представим \( a = (a^{\frac{1}{3}})^3 \) и \( x = (x^{\frac{1}{3}})^3 \).
• Шаг 2: Применим формулу разности кубов, где \( A = a^{\frac{1}{3}} \) и \( B = x^{\frac{1}{3}} \).

Решение: \( a - x = (a^{\frac{1}{3}})^3 - (x^{\frac{1}{3}})^3 = (a^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}}) (a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}}) \)

Ответ: \( (a^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}}) (a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}}) \)

Используем формулу разности кубов \( A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2) \).

• Шаг 1: Представим \( x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{6}})^3 \) и \( y^{\frac{1}{2}} = (y^{\frac{1}{6}})^3 \).
• Шаг 2: Применим формулу разности кубов, где \( A = x^{\frac{1}{6}} \) и \( B = y^{\frac{1}{6}} \).

Решение:
\( x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{6}})^3 - (y^{\frac{1}{6}})^3 = (x^{\frac{1}{6}} - y^{\frac{1}{6}}) ((x^{\frac{1}{6}})^2 + x^{\frac{1}{6}} y^{\frac{1}{6}} + (y^{\frac{1}{6}})^2) = \)
\( = (x^{\frac{1}{6}} - y^{\frac{1}{6}}) (x^{\frac{2}{6}} + (xy)^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{2}{6}}) = (x^{\frac{1}{6}} - y^{\frac{1}{6}}) (x^{\frac{1}{3}} + (xy)^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{3}}) \)

Ответ: \( (x^{\frac{1}{6}} - y^{\frac{1}{6}}) (x^{\frac{1}{3}} + (xy)^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{3}}) \)

Используем формулу разности кубов \( A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2) \).

• Шаг 1: Представим \( a^{\frac{2}{3}} = (a^{\frac{2}{9}})^3 \) и \( b^{\frac{2}{3}} = (b^{\frac{2}{9}})^3 \).
• Шаг 2: Применим формулу разности кубов, где \( A = a^{\frac{2}{9}} \) и \( B = b^{\frac{2}{9}} \).

Решение:
\( a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}} = (a^{\frac{2}{9}})^3 - (b^{\frac{2}{9}})^3 = (a^{\frac{2}{9}} - b^{\frac{2}{9}}) (a^{\frac{4}{9}} + a^{\frac{2}{9}} b^{\frac{2}{9}} + b^{\frac{4}{9}}) \)

Ответ: \( (a^{\frac{2}{9}} - b^{\frac{2}{9}}) (a^{\frac{4}{9}} + a^{\frac{2}{9}} b^{\frac{2}{9}} + b^{\frac{4}{9}}) \)

Используем формулу суммы кубов \( A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2) \).

• Шаг 1: Представим слагаемые как кубы.
  \( 27 a^{\frac{1}{2}} = 27 (a^{\frac{1}{6}})^3 = (3 a^{\frac{1}{6}})^3 \) - неверно, \( 27 \) - это \( 3^3 \), а \( a^{\frac{1}{2}} \) - это \( (a^{\frac{1}{6}})^3 \).
  
  Представим \( 27 a^{\frac{1}{2}} = (3 a^{\frac{1}{6}})^3 \) - это не так.
  
  Правильно: \( 27 a^{\frac{1}{2}} = 3^3 \cdot a^{\frac{3}{6}} \).
  \( a = a^1 = a^{\frac{6}{6}} \).
  Общий множитель: \( a^{\frac{1}{2}} \).
  \( 27 a^{\frac{1}{2}} + a = a^{\frac{1}{2}} (27 + a^{\frac{1}{2}}) \) - это разложение с вынесением общего множителя, но задание требует формулу кубов.
  
  **Примем, что требуется разложить \( 27 a^{\frac{3}{2}} + 1 \) или \( 27 a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} \).**
  Если же придерживаться строго исходного выражения:
  \( 27 a^{\frac{1}{2}} + a = (3^3) (a^{\frac{1}{2}}) + (a^{\frac{1}{3}})^3 \).
  
  Если мы хотим, чтобы \( 27 a^{\frac{1}{2}} + a \) было суммой кубов \( A^3 + B^3 \), то:
  \( A^3 = 27 a^{\frac{1}{2}} \implies A = (27 a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} = 3 a^{\frac{1}{6}} \).
  \( B^3 = a \implies B = a^{\frac{1}{3}} \).
  
  Это невозможно, так как \( A^3 + B^3 \) должно быть равно \( 27 a^{\frac{1}{2}} + a \), но \( (3 a^{\frac{1}{6}})^3 + (a^{\frac{1}{3}})^3 = 27 a^{\frac{1}{2}} + a \).
  
  **Примем, что задание с опечаткой и подразумевает разложение \( 27 a^{\frac{1}{2}} + 1 \) (сумма кубов)**
  \( 27 a^{\frac{1}{2}} + 1 = (3^3) (a^{\frac{1}{2}}) + 1^3 \) - это не сумма кубов.
  
  **Примем, что задание с опечаткой и подразумевает разложение \( 27 a^{\frac{3}{2}} + 1 \) (сумма кубов)**:
  \( 27 a^{\frac{3}{2}} + 1 = (3 a^{\frac{1}{2}})^3 + 1^3 = (3 a^{\frac{1}{2}} + 1) ((3 a^{\frac{1}{2}})^2 - 3 a^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^2) = (3 a^{\frac{1}{2}} + 1) (9a - 3 a^{\frac{1}{2}} + 1) \)
  
  **Вернемся к строгому варианту, вынеся общий множитель \( a^{\frac{1}{2}} \):**
  \( 27 a^{\frac{1}{2}} + a = a^{\frac{1}{2}} (27 + a^{\frac{1}{2}}) \)

  Ответ (полагая, что имелась в виду ошибка в задании):
  \( (3 a^{\frac{1}{2}} + 1) (9a - 3 a^{\frac{1}{2}} + 1) \) (если \( 27 a^{\frac{3}{2}} + 1 \))
  **Ответ (строго по заданию - вынос общего множителя):**
  \( a^{\frac{1}{2}} (27 + a^{\frac{1}{2}}) \)

  Будем следовать инструкции, указанной в тексте задания:

  • Шаг 1: Представим слагаемые как кубы: \( A^3 = 27 a^{\frac{1}{2}} \) и \( B^3 = a \).
    \( A = (27 a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} = 3 a^{\frac{1}{6}} \).
    \( B = a^{\frac{1}{3}} \).
  • Шаг 2: Запишем сумму кубов: \( A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2) \).

  Решение: \( 27 a^{\frac{1}{2}} + a = (3 a^{\frac{1}{6}})^3 + (a^{\frac{1}{3}})^3 = (3 a^{\frac{1}{6}} + a^{\frac{1}{3}}) ((3 a^{\frac{1}{6}})^2 - (3 a^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}}) + (a^{\frac{1}{3}})^2) = \)
  \( = (3 a^{\frac{1}{6}} + a^{\frac{1}{3}}) (9 a^{\frac{2}{6}} - 3 a^{\frac{1}{6} + \frac{2}{6}} + a^{\frac{2}{3}}) = (3 a^{\frac{1}{6}} + a^{\frac{1}{3}}) (9 a^{\frac{1}{3}} - 3 a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{2}{3}}) \)

  Ответ: \( (3 a^{\frac{1}{6}} + a^{\frac{1}{3}}) (9 a^{\frac{1}{3}} - 3 a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{2}{3}}) \)