ГДЗ: Упражнение 71 - § 5 (Степень с рациональным и действительным показателями) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем свойства степеней.

• Шаг 1: Разложим числитель: \( 10^{2\sqrt{2}} = (2 \cdot 5)^{2\sqrt{2}} = 2^{2\sqrt{2}} \cdot 5^{2\sqrt{2}} \).
• Шаг 2: Упростим произведение в знаменателе \( 5^{1+\sqrt{2}} \cdot 5^{1-\sqrt{2}} \).
• Шаг 3: Сократим дробь.

Решение:
Числитель: \( 2^{2\sqrt{2}} \cdot 5^{2\sqrt{2}} \).
Знаменатель: \( 2^{2\sqrt{2}} \cdot 5^{(1+\sqrt{2}) + (1-\sqrt{2})} = 2^{2\sqrt{2}} \cdot 5^2 \).
Дробь: \( \frac{2^{2\sqrt{2}} \cdot 5^{2\sqrt{2}}}{2^{2\sqrt{2}} \cdot 5^2} = 5^{2\sqrt{2} - 2} \)

Ответ: \( 5^{2\sqrt{2} - 2} \)

Используем свойства степеней.

• Шаг 1: Разложим числитель: \( 6^{3+\sqrt{5}} = (2 \cdot 3)^{3+\sqrt{5}} = 2^{3+\sqrt{5}} \cdot 3^{3+\sqrt{5}} \).
• Шаг 2: Разделим степени с одинаковым основанием.

Решение:
\( \frac{2^{3+\sqrt{5}} \cdot 3^{3+\sqrt{5}}}{2^{3+\sqrt{5}} \cdot 3^{2+\sqrt{5}}} = 2^{(3+\sqrt{5}) - (3+\sqrt{5})} \cdot 3^{(3+\sqrt{5}) - (2+\sqrt{5})} = \)
\( = 2^0 \cdot 3^{3 + \sqrt{5} - 2 - \sqrt{5}} = 1 \cdot 3^1 = 3 \)

Ответ: \( 3 \)

Приведем все основания к числу 5: \( 25 = 5^2 \).

• Шаг 1: Преобразуем \( 25^{\sqrt{2}-\frac{1}{2}} = (5^2)^{\sqrt{2}-\frac{1}{2}} = 5^{2(\sqrt{2}-\frac{1}{2})} = 5^{2\sqrt{2} - 1} \).
• Шаг 2: Раскроем скобки, умножив на \( 5^{1+2\sqrt{2}} \).

Решение:
\( (5^{2\sqrt{2} - 1} - 5^{\sqrt{2}}) \cdot 5^{1+2\sqrt{2}} = 5^{2\sqrt{2} - 1} \cdot 5^{1+2\sqrt{2}} - 5^{\sqrt{2}} \cdot 5^{1+2\sqrt{2}} = \)
\( = 5^{(2\sqrt{2} - 1) + (1+2\sqrt{2})} - 5^{\sqrt{2} + (1+2\sqrt{2})} = 5^{4\sqrt{2}} - 5^{1 + 3\sqrt{2}} \)

Ответ: \( 5^{4\sqrt{2}} - 5^{1 + 3\sqrt{2}} \)

Приведем все основания к числу 2. Заметим, что \( 2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} \) и \( 4 = 2^2 \).

• Шаг 1: Преобразуем основания:
  \( (2\sqrt{2})^{\sqrt{5}-\frac{1}{2}} = (2^{\frac{3}{2}})^{\sqrt{5}-\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}(\sqrt{5}-\frac{1}{2})} = 2^{\frac{3\sqrt{5}}{2} - \frac{3}{4}} \).
  \( 4^{\sqrt{5}-\frac{1}{2}} = (2^2)^{\sqrt{5}-\frac{1}{2}} = 2^{2(\sqrt{5}-\frac{1}{2})} = 2^{2\sqrt{5} - 1} \).
• Шаг 2: Раскроем скобки, умножив на \( 2^{-2\sqrt{5}} \).

Решение:
\( (2^{\frac{3\sqrt{5}}{2} - \frac{3}{4}} - 2^{2\sqrt{5} - 1}) \cdot 2^{-2\sqrt{5}} = 2^{(\frac{3\sqrt{5}}{2} - \frac{3}{4}) - 2\sqrt{5}} - 2^{(2\sqrt{5} - 1) - 2\sqrt{5}} = \)
\( = 2^{\frac{3\sqrt{5}}{2} - \frac{4\sqrt{5}}{2} - \frac{3}{4}} - 2^{-1} = 2^{-\frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{3}{4}} - \frac{1}{2} \)

Ответ: \( 2^{-\frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{3}{4}} - \frac{1}{2} \)