ГДЗ: Упражнение 73 - § 5 (Степень с рациональным и действительным показателями) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем правило: если основание \( a > 1 \) и показатель \( x > 0 \), то \( a^x > 1 \).

• Шаг 1: Сравним основание с 1: \( 2 > 1 \).
• Шаг 2: Сравним показатель с 0: \( \sqrt{3} \approx 1,732 > 0 \).

Решение:
Поскольку \( 2 > 1 \) и \( \sqrt{3} > 0 \), то \( 2^{\sqrt{3}} > 2^0 = 1 \).

Ответ: Число \( 2^{\sqrt{3}} \) больше единицы (\( 2^{\sqrt{3}} > 1 \)).

Используем правило: если основание \( 0 < a < 1 \) и показатель \( x < 0 \), то \( a^x > 1 \).

• Шаг 1: Сравним основание с 1: \( 0 < 0,013 < 1 \).
• Шаг 2: Сравним показатель с 0: \( -3 < 0 \).

Решение:
Поскольку \( 0 < 0,013 < 1 \) и \( -3 < 0 \), то \( (0,013)^{-3} > (0,013)^0 = 1 \).

Ответ: Число \( (0,013)^{-3} \) больше единицы (\( (0,013)^{-3} > 1 \)).

Используем правило: если основание \( 0 < a < 1 \) и показатель \( x > 0 \), то \( a^x < 1 \).

• Шаг 1: Сравним основание с 1: \( 0 < \frac{2}{7} < 1 \).
• Шаг 2: Сравним показатель с 0: \( \frac{5}{6} > 0 \).

Решение:
Поскольку \( 0 < \frac{2}{7} < 1 \) и \( \frac{5}{6} > 0 \), то \( (\frac{2}{7})^{\frac{5}{6}} < (\frac{2}{7})^0 = 1 \).

Ответ: Число \( (\frac{2}{7})^{\frac{5}{6}} \) меньше единицы (\( (\frac{2}{7})^{\frac{5}{6}} < 1 \)).

Используем правило: если основание \( a > 1 \) и показатель \( x > 0 \), то \( a^x > 1 \).

• Шаг 1: Сравним основание с 1: \( 27 > 1 \).
• Шаг 2: Сравним показатель с 0: \( 1,5 > 0 \).

Решение:
Поскольку \( 27 > 1 \) и \( 1,5 > 0 \), то \( 27^{1,5} > 27^0 = 1 \).

Ответ: Число \( 27^{1,5} \) больше единицы (\( 27^{1,5} > 1 \)).

Используем правило: если основание \( a > 1 \), то сравнение с 1 зависит от знака показателя.

• Шаг 1: Сравним основание с 1: \( 2 > 1 \).
• Шаг 2: Сравним показатель с 0: \( \sqrt{5} \) и \( 2 \).
  \( (\sqrt{5})^2 = 5 \), \( 2^2 = 4 \).
  Поскольку \( 5 > 4 \), то \( \sqrt{5} > 2 \).
  Следовательно, \( \sqrt{5} - 2 > 0 \).

Решение:
Поскольку \( 2 > 1 \) и показатель \( \sqrt{5} - 2 > 0 \), то \( 2^{\sqrt{5} - 2} > 2^0 = 1 \).

Ответ: Число \( 2^{\sqrt{5} - 2} \) больше единицы (\( 2^{\sqrt{5} - 2} > 1 \)).

Используем правило: если основание \( a > 1 \) и показатель \( x > 0 \), то \( a^x > 1 \).

• Шаг 1: Сравним основание с 1: \( \frac{7}{6} > 1 \).
• Шаг 2: Сравним показатель с 0: \( \sqrt{3} > 0 \).

Решение:
Поскольку \( \frac{7}{6} > 1 \) и \( \sqrt{3} > 0 \), то \( (\frac{7}{6})^{\sqrt{3}} > (\frac{7}{6})^0 = 1 \).

Ответ: Число \( (\frac{7}{6})^{\sqrt{3}} \) больше единицы (\( (\frac{7}{6})^{\sqrt{3}} > 1 \)).

Сначала сравним основание с 1, а затем показатель с 0.

• Шаг 1: Сравним основание с 1:
  \( \pi \approx 3,14 \). \( \frac{\pi}{4} \approx \frac{3,14}{4} \approx 0,785 \).
  Следовательно, \( 0 < \frac{\pi}{4} < 1 \).
• Шаг 2: Сравним показатель с 0:
  \( \sqrt{5} \) и \( 2 \).
  \( \sqrt{5} > 2 \implies \sqrt{5} - 2 > 0 \).

Решение:
Поскольку \( 0 < \frac{\pi}{4} < 1 \) и показатель \( \sqrt{5} - 2 > 0 \), то \( (\frac{\pi}{4})^{\sqrt{5} - 2} < (\frac{\pi}{4})^0 = 1 \).

Ответ: Число \( (\frac{\pi}{4})^{\sqrt{5} - 2} \) меньше единицы (\( (\frac{\pi}{4})^{\sqrt{5} - 2} < 1 \)).

Сначала сравним основание с 1, а затем показатель с 0.

• Шаг 1: Сравним основание с 1: \( \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} > 1 \).
• Шаг 2: Сравним показатель с 0: \( \sqrt{8} \) и \( 3 \).
  \( (\sqrt{8})^2 = 8 \), \( 3^2 = 9 \).
  Поскольку \( 8 < 9 \), то \( \sqrt{8} < 3 \).
  Следовательно, \( \sqrt{8} - 3 < 0 \).

Решение:
Поскольку \( \frac{8}{3} > 1 \) и показатель \( \sqrt{8} - 3 < 0 \), то \( (\frac{8}{3})^{\sqrt{8} - 3} < (\frac{8}{3})^0 = 1 \).

Ответ: Число \( (\frac{8}{3})^{\sqrt{8} - 3} \) меньше единицы (\( (\frac{8}{3})^{\sqrt{8} - 3} < 1 \)).