Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 5 / Задание 72

ГДЗ: Упражнение 72 - § 5 (Степень с рациональным и действительным показателями) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 24, 30-35

Глава:	Глава 1
Параграф:	§ 5 - Степень с рациональным и действительным показателями
Учебник:	Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор:	Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год:	2025
Издание:

72 упражнение:

Выяснить, какое из чисел больше:

1) \( 3^{\sqrt{71}} \) или \( 3^{\sqrt{69}} \)

Используем правило сравнения степеней: если основание \( a > 1 \), то больше та степень, у которой больше показатель.

Шаг 1: Сравним основания. \( 3 > 1 \).
Шаг 2: Сравним показатели: \( \sqrt{71} \) и \( \sqrt{69} \).

Решение:
Основание \( a=3 > 1 \).
Сравним показатели: \( 71 > 69 \implies \sqrt{71} > \sqrt{69} \).
Поскольку \( 3 > 1 \) и \( \sqrt{71} > \sqrt{69} \), то \( 3^{\sqrt{71}} > 3^{\sqrt{69}} \).

Ответ: \( 3^{\sqrt{71}} \) больше, чем \( 3^{\sqrt{69}} \)

2) \( \left( \frac{1}{3} \right)^{\sqrt{2}} \) или \( \left( \frac{1}{3} \right)^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \)

Используем правило сравнения степеней: если основание \( 0 < a < 1 \), то больше та степень, у которой меньше показатель.

Шаг 1: Сравним основания. \( 0 < \frac{1}{3} < 1 \).
Шаг 2: Сравним показатели: \( \sqrt{2} \) и \( \frac{1}{\sqrt{2}} \).

Решение:
Основание \( a=\frac{1}{3} \) лежит в интервале \( (0, 1) \).
Сравним показатели: \( \sqrt{2} = 1,414... \). \( \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0,707... \).
\( \sqrt{2} > \frac{1}{\sqrt{2}} \).
Поскольку \( 0 < \frac{1}{3} < 1 \), то больше та степень, у которой меньше показатель.
\( \sqrt{2} > \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \left( \frac{1}{3} \right)^{\sqrt{2}} < \left( \frac{1}{3} \right)^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \).

Ответ: \( \left( \frac{1}{3} \right)^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \) больше, чем \( \left( \frac{1}{3} \right)^{\sqrt{2}} \)

3) \( 4^{-\sqrt{3}} \) или \( 4^{-\sqrt{2}} \)

Шаг 1: Сравним основания. \( 4 > 1 \).
Шаг 2: Сравним показатели: \( -\sqrt{3} \) и \( -\sqrt{2} \).

Решение:
Основание \( a=4 > 1 \).
Сравним показатели: \( \sqrt{3} \approx 1,732 \), \( \sqrt{2} \approx 1,414 \).
\( \sqrt{3} > \sqrt{2} \implies -\sqrt{3} < -\sqrt{2} \).
Поскольку \( 4 > 1 \) и \( -\sqrt{3} < -\sqrt{2} \), то \( 4^{-\sqrt{3}} < 4^{-\sqrt{2}} \).

Ответ: \( 4^{-\sqrt{2}} \) больше, чем \( 4^{-\sqrt{3}} \)

4) \( 2^{\sqrt{3}} \) или \( 2^{1,7} \)

Шаг 1: Сравним основания. \( 2 > 1 \).
Шаг 2: Сравним показатели: \( \sqrt{3} \) и \( 1,7 \).

Решение:
Основание \( a=2 > 1 \).
Сравним показатели:
\( (\sqrt{3})^2 = 3 \).
\( (1,7)^2 = 2,89 \).
Поскольку \( 3 > 2,89 \), то \( \sqrt{3} > 1,7 \).
Поскольку \( 2 > 1 \) и \( \sqrt{3} > 1,7 \), то \( 2^{\sqrt{3}} > 2^{1,7} \).

Ответ: \( 2^{\sqrt{3}} \) больше, чем \( 2^{1,7} \)

5) \( (\frac{1}{2})^{1,4} \) или \( (\frac{1}{2})^{\sqrt{2}} \)

Шаг 1: Сравним основания. \( 0 < \frac{1}{2} < 1 \).
Шаг 2: Сравним показатели: \( 1,4 \) и \( \sqrt{2} \).

Решение:
Основание \( a=\frac{1}{2} \) лежит в интервале \( (0, 1) \).
Сравним показатели:
\( (1,4)^2 = 1,96 \).
\( (\sqrt{2})^2 = 2 \).
Поскольку \( 1,96 < 2 \), то \( 1,4 < \sqrt{2} \).
Поскольку \( 0 < \frac{1}{2} < 1 \) и \( 1,4 < \sqrt{2} \), то \( (\frac{1}{2})^{1,4} > (\frac{1}{2})^{\sqrt{2}} \).

Ответ: \( (\frac{1}{2})^{1,4} \) больше, чем \( (\frac{1}{2})^{\sqrt{2}} \)

6) \( (\frac{1}{9})^{\pi} \) или \( (\frac{1}{9})^{3,14} \)

Шаг 1: Сравним основания. \( 0 < \frac{1}{9} < 1 \).
Шаг 2: Сравним показатели: \( \pi \) и \( 3,14 \).

Решение:
Основание \( a=\frac{1}{9} \) лежит в интервале \( (0, 1) \).
Сравним показатели:
\( \pi \approx 3,14159... \).
\( 3,14 \).
Поскольку \( \pi > 3,14 \).
Поскольку \( 0 < \frac{1}{9} < 1 \) и \( \pi > 3,14 \), то \( (\frac{1}{9})^{\pi} < (\frac{1}{9})^{3,14} \).

Ответ: \( (\frac{1}{9})^{3,14} \) больше, чем \( (\frac{1}{9})^{\pi} \)

Что применять при решении

Определение степени с рациональным показателем

Если \( a > 0 \), \( m \) - целое число, а \( n \) - натуральное число (\( n \ge 2 \)), то степень \( a^{\frac{m}{n}} \) определяется как \( \sqrt[n]{a^m} \).

\( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \)

Свойства степени с рациональным показателем

Для любых рациональных показателей \( p \) и \( q \) и любых положительных чисел \( a \) и \( b \) выполняются свойства степеней:

\( a^p \cdot a^q = a^{p+q}; \quad \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}; \quad (a^p)^q = a^{pq}; \quad (ab)^p = a^p b^p; \quad \left( \frac{a}{b} \right)^p = \frac{a^p}{b^p} \)

Формулы разности квадратов и разности кубов

Для разложения выражений на множители используются формулы сокращенного умножения, применимые и для рациональных показателей:

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b); \quad a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2); \quad a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)

Сравнение степеней

Если \( a > 1 \), то из неравенства \( x_1 < x_2 \) следует \( a^{x_1} < a^{x_2} \). Если \( 0 < a < 1 \), то из неравенства \( x_1 < x_2 \) следует \( a^{x_1} > a^{x_2} \).

\( \text{Если } a > 1 \text{, то } x_1 < x_2 \implies a^{x_1} < a^{x_2}; \quad \text{Если } 0 < a < 1 \text{, то } x_1 < x_2 \implies a^{x_1} > a^{x_2} \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность

Готовый файл Word

15-30 страниц

Список источников по ГОСТ

Оформление по ГОСТ

Таблицы и схемы

Создать

Другие упражнения из параграфа § 5

55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.