ГДЗ: Упражнение 66 - § 5 (Степень с рациональным и действительным показателями) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем формулу разности квадратов \( A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \) в знаменателе.

• Шаг 1: Преобразуем числитель в степени с рациональным показателем: \( \sqrt{a} - \sqrt{b} = a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} \).
• Шаг 2: Преобразуем знаменатель, применив формулу разности квадратов: \( a^2 - b^4 = (a - b^2) (a + b^2) \).
• Шаг 3: Разложим \( a - b^2 \) снова как разность квадратов: \( a - b^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b) (a^{\frac{1}{2}} + b) \).
• Шаг 4: Разложим \( a^{\frac{1}{2}} - b \) как разность квадратов: \( a^{\frac{1}{2}} - b = (a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{2}}) (a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}}) \).
  Это слишком сложное разложение, не приводящее к сокращению с числителем.
  
  **Простой подход:** Разложим \( a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} \) из числителя: \( (a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}) (a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}) \). Это не поможет.
  
  **Сфокусируемся на знаменателе, чтобы найти множитель из числителя.**
  \( a^2 - b^4 = (a - b^2)(a + b^2) \).
  \( a - b^2 = (\sqrt{a} - b)(\sqrt{a} + b) \).
  \( \sqrt{a} - b = (a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}}) \).
  В числителе \( \sqrt{a} - \sqrt{b} \).
  
  **Возможно, опечатка и в знаменателе \( a - b \).**
  Если \( \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \).
  
  **Если же использовать исходный текст, то сократить нельзя.**
  Предположим, что в знаменателе опечатка и должно быть \( a - b \).
  \( \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b} = \frac{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})} = \frac{1}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} \)

  Ответ (предполагая опечатку в знаменателе \( a^2 - b^4 \) на \( a - b \)): \( \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \) или \( \frac{1}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} \)

Упростим числитель и знаменатель.

• Шаг 1: Упростим числитель: \( m^{\frac{2}{2}} + n^{\frac{2}{2}} = m^1 + n^1 = m + n \).
• Шаг 2: Упростим знаменатель, используя формулу квадрата суммы:
  \( m + 2 \sqrt{mn} + n = (\sqrt{m})^2 + 2 \sqrt{m} \sqrt{n} + (\sqrt{n})^2 = (\sqrt{m} + \sqrt{n})^2 \).
• Шаг 3: Запишем итоговую дробь. Сокращение невозможно.

Решение: \( \frac{m^{\frac{2}{2}} + n^{\frac{2}{2}}}{m + 2 \sqrt{mn} + n} = \frac{m + n}{(\sqrt{m} + \sqrt{n})^2} \)

Ответ: \( \frac{m + n}{(\sqrt{m} + \sqrt{n})^2} \)

Упростим числитель и знаменатель.

• Шаг 1: Упростим числитель: \( c - 2c^{\frac{2}{2}} + 1 = c - 2c + 1 = 1 - c \).
• Шаг 2: Преобразуем числитель как разность квадратов: \( 1 - c = 1^2 - (\sqrt{c})^2 = (1 - \sqrt{c}) (1 + \sqrt{c}) \).
• Шаг 3: Сократим дробь.

Решение:
\( \frac{c - 2c^{\frac{2}{2}} + 1}{\sqrt{c} - 1} = \frac{1 - c}{\sqrt{c} - 1} = \frac{(1 - \sqrt{c}) (1 + \sqrt{c})}{\sqrt{c} - 1} \).
Заметим, что \( 1 - \sqrt{c} = - (\sqrt{c} - 1) \).
\( \frac{-( \sqrt{c} - 1 ) (1 + \sqrt{c})}{\sqrt{c} - 1} = - (1 + \sqrt{c}) = -1 - \sqrt{c} \)

Ответ: \( -1 - \sqrt{c} \) или \( - (1 + \sqrt{c}) \)