Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 5 / Задание 76

ГДЗ: Упражнение 76 - § 5 (Степень с рациональным и действительным показателями) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 24, 30-35
Глава: Глава 1
Параграф: § 5 - Степень с рациональным и действительным показателями
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

76 упражнение:

Вычислить:

1) \( (\frac{1}{16})^{-0,75} + 810000^{0,25} - (\frac{7}{19})^0 \)

Используем свойства степеней.

  • Шаг 1: Вычислим первое слагаемое:
    \( (\frac{1}{16})^{-0,75} = 16^{0,75} = 16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^3 = 8 \).
  • Шаг 2: Вычислим второе слагаемое:
    \( 810000^{0,25} = 810000^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{810000} = \sqrt[4]{81 \cdot 10^4} = 3 \cdot 10 = 30 \).
  • Шаг 3: Вычислим третье слагаемое:
    \( (\frac{7}{19})^0 = 1 \).
  • Шаг 4: Выполним сложение и вычитание.

Решение: \( 8 + 30 - 1 = 37 \)

Ответ: \( 37 \)

2) \( 27^{\frac{2}{3}} - (-2)^{-2} + (\frac{3}{8})^{-1} \)

Используем свойства степеней.

  • Шаг 1: Вычислим первое слагаемое:
    \( 27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^2 = 9 \).
  • Шаг 2: Вычислим второе слагаемое:
    \( (-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4} \).
  • Шаг 3: Вычислим третье слагаемое:
    \( (\frac{3}{8})^{-1} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \).
  • Шаг 4: Выполним сложение и вычитание.

Решение: \( 9 - \frac{1}{4} + 2\frac{2}{3} = 9 - 0,25 + 2 + \frac{2}{3} = 11 + (\frac{2}{3} - \frac{1}{4}) = 11 + \frac{8-3}{12} = 11 + \frac{5}{12} = 11\frac{5}{12} \)

Ответ: \( 11\frac{5}{12} \) или \( \frac{137}{12} \)

3) \( (0,001)^{-\frac{1}{3}} - 2^{-2} \cdot 64^{\frac{2}{3}} - 8^{-1} \)

Используем свойства степеней.

  • Шаг 1: Вычислим первое слагаемое:
    \( (0,001)^{-\frac{1}{3}} = (10^{-3})^{-\frac{1}{3}} = 10^1 = 10 \).
  • Шаг 2: Вычислим второе слагаемое:
    \( 2^{-2} \cdot 64^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{4} \cdot (4^3)^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{4} \cdot 4^2 = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4 \).
  • Шаг 3: Вычислим третье слагаемое:
    \( 8^{-1} = \frac{1}{8} \).
  • Шаг 4: Выполним сложение и вычитание.

Решение: \( 10 - 4 - \frac{1}{8} = 6 - \frac{1}{8} = 5\frac{7}{8} \) или \( \frac{47}{8} \).

Ответ: \( 5\frac{7}{8} \) или \( \frac{47}{8} \)

4) \( (-0,5)^{-4} - 625^{0,25} - (2\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} \)

Используем свойства степеней.

  • Шаг 1: Вычислим первое слагаемое:
    \( (-0,5)^{-4} = (-\frac{1}{2})^{-4} = (-2)^4 = 16 \).
  • Шаг 2: Вычислим второе слагаемое:
    \( 625^{0,25} = 625^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{625} = 5 \).
  • Шаг 3: Вычислим третье слагаемое:
    \( (2\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{9}{4})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{4}{9})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} \).
  • Шаг 4: Выполним сложение и вычитание.

Решение: \( 16 - 5 - \frac{2}{3} = 11 - \frac{2}{3} = 10\frac{1}{3} \) или \( \frac{31}{3} \).

Ответ: \( 10\frac{1}{3} \) или \( \frac{31}{3} \)

Что применять при решении

Определение степени с рациональным показателем
Если \( a > 0 \), \( m \) - целое число, а \( n \) - натуральное число (\( n \ge 2 \)), то степень \( a^{\frac{m}{n}} \) определяется как \( \sqrt[n]{a^m} \).
\( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \)
Свойства степени с рациональным показателем
Для любых рациональных показателей \( p \) и \( q \) и любых положительных чисел \( a \) и \( b \) выполняются свойства степеней:
\( a^p \cdot a^q = a^{p+q}; \quad \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}; \quad (a^p)^q = a^{pq}; \quad (ab)^p = a^p b^p; \quad \left( \frac{a}{b} \right)^p = \frac{a^p}{b^p} \)
Формулы разности квадратов и разности кубов
Для разложения выражений на множители используются формулы сокращенного умножения, применимые и для рациональных показателей:
\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b); \quad a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2); \quad a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)
Сравнение степеней
Если \( a > 1 \), то из неравенства \( x_1 < x_2 \) следует \( a^{x_1} < a^{x_2} \). Если \( 0 < a < 1 \), то из неравенства \( x_1 < x_2 \) следует \( a^{x_1} > a^{x_2} \).
\( \text{Если } a > 1 \text{, то } x_1 < x_2 \implies a^{x_1} < a^{x_2}; \quad \text{Если } 0 < a < 1 \text{, то } x_1 < x_2 \implies a^{x_1} > a^{x_2} \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 5

55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.