ГДЗ: Упражнение 57 - § 5 (Степень с рациональным и действительным показателями) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем определение степени с рациональным показателем: \( a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \).

• Шаг 1: Преобразуем степень в корень: \( 64^{\frac{1}{2}} = \sqrt{64} \).
• Шаг 2: Вычисляем корень.

Решение: \( 64^{\frac{1}{2}} = \sqrt{64} = 8 \)

Ответ: \( 8 \)

Используем определение \( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \) и свойство \( \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m \).

• Шаг 1: Представим основание \( 27 \) как степень: \( 27 = 3^3 \).
• Шаг 2: Применим свойство \((a^p)^q = a^{pq}\).

Решение: \( 27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2 = 9 \)

Ответ: \( 9 \)

Используем свойство \((a^p)^q = a^{pq}\).

• Шаг 1: Представим основание \( 8 \) как степень: \( 8 = 2^3 \).
• Шаг 2: Применим свойство \((a^p)^q = a^{pq}\).

Решение: \( 8^{\frac{4}{3}} = (2^3)^{\frac{4}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{4}{3}} = 2^4 = 16 \)

Ответ: \( 16 \)

Используем свойство \((a^p)^q = a^{pq}\).

• Шаг 1: Представим основание \( 81 \) как степень: \( 81 = 3^4 \).
• Шаг 2: Применим свойство \((a^p)^q = a^{pq}\).

Решение: \( 81^{\frac{3}{4}} = (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 3^3 = 27 \)

Ответ: \( 27 \)

Переведем десятичную дробь в обыкновенную и используем свойство \( a^{-p} = \frac{1}{a^p} \).

• Шаг 1: Преобразуем показатель: \( -0,75 = -\frac{3}{4} \).
• Шаг 2: Представим основание \( 16 \) как степень: \( 16 = 2^4 \).
• Шаг 3: Применим свойства степеней.

Решение: \( 16^{-0,75} = 16^{-\frac{3}{4}} = (2^4)^{-\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot (-\frac{3}{4})} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \)

Ответ: \( \frac{1}{8} \)

Переведем десятичную дробь в обыкновенную и используем свойство \( a^{-p} = \frac{1}{a^p} \).

• Шаг 1: Преобразуем показатель: \( -1,5 = -\frac{3}{2} \).
• Шаг 2: Представим основание \( 9 \) как степень: \( 9 = 3^2 \).
• Шаг 3: Применим свойства степеней.

Решение: \( 9^{-1,5} = 9^{-\frac{3}{2}} = (3^2)^{-\frac{3}{2}} = 3^{2 \cdot (-\frac{3}{2})} = 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27} \)

Ответ: \( \frac{1}{27} \)