ГДЗ: Упражнение 59 - § 5 (Степень с рациональным и действительным показателями) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем свойство \((ab)^p = a^p b^p\), то есть \( a^p b^p = (ab)^p \), и свойство \((a^p)^q = a^{pq}\).

• Шаг 1: Объединим множители под общим показателем.
• Шаг 2: Умножим основания и вычислим.

Решение: \( 9^{\frac{1}{3}} \cdot 27^{\frac{1}{3}} = (9 \cdot 27)^{\frac{1}{3}} = (243)^{\frac{1}{3}} \) (Это не упрощается до целого числа. Проверим другой способ)
Используем приведение к основанию \( 3 \):

• \( 9^{\frac{1}{3}} = (3^2)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{2}{3}} \)
• \( 27^{\frac{1}{3}} = (3^3)^{\frac{1}{3}} = 3^1 = 3 \)

Ответ: \( 3^{\frac{5}{3}} \)

Используем свойство \( a^p b^p = (ab)^p \).

• Шаг 1: Объединим множители под общим показателем.
• Шаг 2: Умножим основания и вычислим.

Решение: \( 7^{\frac{3}{4}} \cdot 49^{\frac{3}{4}} = (7 \cdot 49)^{\frac{3}{4}} = (343)^{\frac{3}{4}} \).
Представим \( 343 \) как степень \( 7^3 \):
\( (7^3)^{\frac{3}{4}} = 7^{3 \cdot \frac{3}{4}} = 7^{\frac{9}{4}} \)

Ответ: \( 7^{\frac{9}{4}} \)

Используем свойство \( a^p b^p = (ab)^p \).

• Шаг 1: Объединим множители под общим показателем.
• Шаг 2: Умножим основания и вычислим корень.

Решение: \( 144^{\frac{1}{4}} \cdot 9^{\frac{1}{4}} = (144 \cdot 9)^{\frac{1}{4}} = (1296)^{\frac{1}{4}} \).
Разложим \( 1296 \) на множители: \( 1296 = 6^4 \).
\( (6^4)^{\frac{1}{4}} = 6^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 6^1 = 6 \)

Ответ: \( 6 \)

Используем свойство \( a^p \div b^p = \left( \frac{a}{b} \right)^p \).

• Шаг 1: Объединим числитель и знаменатель под общим показателем.
• Шаг 2: Разделим основания и вычислим.

Решение: \( 150^{\frac{2}{3}} \div 6^{\frac{2}{3}} = \left( \frac{150}{6} \right)^{\frac{2}{3}} = (25)^{\frac{2}{3}} \).
Представим \( 25 \) как степень \( 5^2 \):
\( (5^2)^{\frac{2}{3}} = 5^{2 \cdot \frac{2}{3}} = 5^{\frac{4}{3}} \)

Ответ: \( 5^{\frac{4}{3}} \)