ГДЗ: Упражнение 70 - § 5 (Степень с рациональным и действительным показателями) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Приведем все основания к числу 2: \( 4 = 2^2 \).

• Шаг 1: Представим \( 4^{\sqrt{2}} = (2^2)^{\sqrt{2}} = 2^{2\sqrt{2}} \).
• Шаг 2: Применим свойство \( a^p \cdot a^q = a^{p+q} \).

Решение: \( 2^{1-2\sqrt{2}} \cdot 4^{\sqrt{2}} = 2^{1-2\sqrt{2}} \cdot 2^{2\sqrt{2}} = 2^{(1-2\sqrt{2}) + 2\sqrt{2}} = 2^1 = 2 \)

Ответ: \( 2 \)

Приведем все основания к числу 3. Упростим иррациональные показатели: \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \), \( 27 = 3^3 \).

• Шаг 1: Преобразуем степени:
  \( 3^{\sqrt{8}} = 3^{2\sqrt{2}} \).
  \( 27^{-\sqrt{2}} = (3^3)^{-\sqrt{2}} = 3^{-3\sqrt{2}} \).
• Шаг 2: Применим свойства степеней \( a^p \div a^q = a^{p-q} \) и \( a^p \cdot a^q = a^{p+q} \).

Решение:
\( 3^{2\sqrt{2}} \div 3^{2\sqrt{2}} \cdot 3^{-3\sqrt{2}} = 3^{2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + (-3\sqrt{2})} = 3^{-3\sqrt{2}} \)

Ответ: \( 3^{-3\sqrt{2}} \) или \( \frac{1}{3^{3\sqrt{2}}} \)

Упростим произведение степеней с одинаковым основанием. Приведем 4 к основанию 2.

• Шаг 1: Упростим степени с основанием 3.
• Шаг 2: Преобразуем степень с основанием 4: \( 4^{3\sqrt{2}} = (2^2)^{3\sqrt{2}} = 2^{6\sqrt{2}} \).

Решение:
\( 4^{3\sqrt{2}} \cdot 3^{\sqrt{3}} \cdot 3^{-2\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{3}} = 4^{3\sqrt{2}} \cdot 3^{\sqrt{3} + (-2\sqrt{3}) + \sqrt{3}} = 4^{3\sqrt{2}} \cdot 3^0 = 4^{3\sqrt{2}} \cdot 1 = 4^{3\sqrt{2}} \).
Или \( 2^{6\sqrt{2}} \)

Ответ: \( 4^{3\sqrt{2}} \) или \( 2^{6\sqrt{2}} \)

Приведем все основания к числу 2: \( 4 = 2^2 \).

• Шаг 1: Преобразуем степень с основанием 4:
  \( 4^{1-\frac{1}{2}\sqrt{2}} = (2^2)^{1-\frac{1}{2}\sqrt{2}} = 2^{2(1-\frac{1}{2}\sqrt{2})} = 2^{2-\sqrt{2}} \).
• Шаг 2: Применим свойства степеней.

Решение:
\( 2^{\sqrt{2}} \cdot 2^{2-\sqrt{2}} \div 2^{-4\sqrt{2}} = 2^{\sqrt{2} + (2-\sqrt{2}) - (-4\sqrt{2})} = 2^{\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} + 4\sqrt{2}} = 2^{2 + 4\sqrt{2}} \)

Ответ: \( 2^{2 + 4\sqrt{2}} \)