ГДЗ: Упражнение 60 - § 5 (Степень с рациональным и действительным показателями) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем свойство \( a^{-p} = \frac{1}{a^p} \) и \((a^p)^q = a^{pq}\).

• Шаг 1: Преобразуем отрицательные показатели в положительные и десятичный показатель в дробь.
• Шаг 2: Представим основания как степени числа 2.
• Шаг 3: Применим свойства степеней и выполним сложение.

Решение:
\( -0,75 = -\frac{3}{4} \).
\( \left( \frac{1}{16} \right)^{-0,75} = \left( \frac{1}{16} \right)^{-\frac{3}{4}} = 16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8 \).
\( \left( \frac{1}{8} \right)^{-\frac{1}{3}} = 8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 2^1 = 2 \).
\( \left( \frac{1}{16} \right)^{-0,75} + \left( \frac{1}{8} \right)^{-\frac{1}{3}} = 8 + 2 = 10 \)

Ответ: \( 10 \)

Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные и применим свойства степеней.

• Шаг 1: Преобразуем основания и показатели.
• Шаг 2: Применим свойства степеней.
• Шаг 3: Выполним вычитание.

Решение:
\( 0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 5^{-2} \). \( 1,5 = \frac{3}{2} \).
\( (0,04)^{-1,5} = \left( \frac{1}{25} \right)^{-\frac{3}{2}} = 25^{\frac{3}{2}} = (5^2)^{\frac{3}{2}} = 5^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 5^3 = 125 \).
\( 0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} = 2^{-3} \).
\( (0,125)^{-\frac{2}{3}} = \left( \frac{1}{8} \right)^{-\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4 \).
\( (0,04)^{-1,5} - (0,125)^{-\frac{2}{3}} = 125 - 4 = 121 \)

Ответ: \( 121 \)

Используем свойства степеней: \( a^p \cdot a^q = a^{p+q} \) и \( a^0 = 1 \).

• Шаг 1: Упростим произведение степеней с одинаковым основанием.
• Шаг 2: Учтем, что \( 35^0 = 1 \).

Решение:
\( 8^{\frac{9}{7}} \cdot 8^{-\frac{2}{7}} \cdot 35^0 = 8^{\frac{9}{7} + (-\frac{2}{7})} \cdot 1 = 8^{\frac{9-2}{7}} \cdot 1 = 8^{\frac{7}{7}} = 8^1 = 8 \)

Ответ: \( 8 \)

Используем свойства степеней: \((a^p)^q = a^{pq}\) и \( a^{-p} = \frac{1}{a^p} \).

• Шаг 1: Упростим первое слагаемое.
• Шаг 2: Преобразуем второе слагаемое: \( 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \).
• Шаг 3: Выполним сложение.

Решение:
\( \left( 5^{\frac{5}{4}} \right)^4 = 5^{\frac{5}{4} \cdot 4} = 5^5 = 3125 \).
\( (0,2)^{-2} = \left( \frac{1}{5} \right)^{-2} = 5^2 = 25 \).
\( \left( 5^{\frac{5}{4}} \right)^4 + (0,2)^{-2} = 3125 + 25 = 3150 \)

Ответ: \( 3150 \)