ГДЗ: Упражнение 208 - § 12 (Показательные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 4, используя свойство \( a^0 = 1 \) для \( a \ne 0 \):

• \( 4^{x-1} = 4^0 \)

Шаг 2: Так как основания равны (и \( 4 \ne 1, 4 > 0 \)), приравниваем показатели:

• \( x - 1 = 0 \)

Шаг 3: Решаем линейное уравнение:

• \( x = 1 \)

Ответ: \( x = 1 \)

Шаг 1: Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 0,3:

• \( 0,3^{3x-2} = 0,3^0 \)

Шаг 2: Приравниваем показатели:

• \( 3x - 2 = 0 \)

Шаг 3: Решаем линейное уравнение:

• \( 3x = 2 \)
• \( x = \frac{2}{3} \)

Ответ: \( x = \frac{2}{3} \)

Примечание: В правой части \( 2^4 \sqrt{3} \) не является степенью 2 с рациональным показателем. Если предположить, что в условии опечатка, и уравнение должно быть \( 2^{2x} = 2^4 \cdot 2^{\sqrt{3}} \), то есть \( 2^{2x} = 2^{4+\sqrt{3}} \).
Однако, следуя буквальному условию:

Шаг 1: Выражаем \( x \) с использованием логарифма по основанию 2:

• \( 2x = \log_2 (2^4 \sqrt{3}) \)

Шаг 2: Используем свойства логарифмов \( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c \) и \( \log_a a^k = k \):

• \( 2x = \log_2 2^4 + \log_2 \sqrt{3} \)
• \( 2x = 4 + \log_2 3^{1/2} \)
• \( 2x = 4 + \frac{1}{2} \log_2 3 \)

Шаг 3: Решаем относительно \( x \):

• \( x = \frac{1}{2} \left(4 + \frac{1}{2} \log_2 3\right) \)
• \( x = 2 + \frac{1}{4} \log_2 3 \)

Ответ: \( x = 2 + \frac{1}{4} \log_2 3 \)

Шаг 1: Основания степеней равны \( \frac{1}{3} \). Приравниваем показатели:

• \( 3x = -2 \)

Шаг 2: Решаем линейное уравнение:

• \( x = -\frac{2}{3} \)

Ответ: \( x = -\frac{2}{3} \)