ГДЗ: Упражнение 215 - § 12 (Показательные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Представим правую часть как степень с основанием 0,3:

• \( 0,3^{x^2+x-1} = 0,3^0 \)

Шаг 2: Приравниваем показатели:

• \( x^2 + x - 1 = 0 \)

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• \( D = 1^2 - 4(1)(-1) = 1 + 4 = 5 \)
• Корни: \( x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \)

Ответ: \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \); \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \)

Шаг 1: Представим правую часть как степень с основанием \( \frac{1}{3} \):

• \( \left(\frac{1}{3}\right)^{-x^2-2x-3} = \left(\frac{1}{3}\right)^0 \)

Шаг 2: Приравниваем показатели:

• \( -x^2 - 2x - 3 = 0 \)
• \( x^2 + 2x + 3 = 0 \)

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение. Находим дискриминант:

• \( D = 2^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8 \)

Так как \( D < 0 \), уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Корней нет

Шаг 1: Приведем правую часть к основанию 5, учитывая ОДЗ: \( x - 3 \ne 0 \), то есть \( x \ne 3 \).

• \( 5^{1/(x-3)} = 5^{1/2} \)

Шаг 2: Приравниваем показатели:

• \( \frac{1}{x-3} = \frac{1}{2} \)

Шаг 3: Решаем пропорцию:

• \( x - 3 = 2 \)
• \( x = 5 \)

Проверим ОДЗ: \( 5 \ne 3 \). Корень подходит.

Ответ: \( x = 5 \)

Шаг 1: Приведем обе части к основанию 10 (\( 100 = 10^2 \)):

• \( (10^2)^{x^2-1} = 10^{1-5x} \)
• \( 10^{2(x^2-1)} = 10^{1-5x} \)
• \( 10^{2x^2 - 2} = 10^{1-5x} \)

Шаг 2: Приравниваем показатели и сводим к квадратному уравнению:

• \( 2x^2 - 2 = 1 - 5x \)
• \( 2x^2 + 5x - 3 = 0 \)

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение:

• Дискриминант: \( D = 5^2 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49 \)
• Корни: \( x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 7}{4} \)
• \( x_1 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
• \( x_2 = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \)

Ответ: \( x_1 = \frac{1}{2} \); \( x_2 = -3 \)