Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 12 / Задание 227

ГДЗ: Упражнение 227 - § 12 (Показательные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 77, 79, 80, 81
Глава: Глава 3
Параграф: § 12 - Показательные уравнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

227 упражнение:

Доказать, что уравнение имеет только один корень \( x = 1 \).

1) \( 4^x + 25^x = 29 \)

Шаг 1: Проверка корня \( x = 1 \):

  • Подставим \( x = 1 \) в уравнение: \( 4^1 + 25^1 = 4 + 25 = 29 \).
  • Левая часть равна правой части. Следовательно, \( x = 1 \) является корнем.

Шаг 2: Анализ функции \( f(x) = 4^x + 25^x \):

  • Функция \( f(x) \) является суммой двух показательных функций \( 4^x \) и \( 25^x \).
  • Показательная функция \( a^x \) (где \( a > 1 \)) является строго возрастающей на всей числовой оси.
  • Сумма строго возрастающих функций также является строго возрастающей функцией.

Шаг 3: Вывод об единственности корня:

  • Уравнение имеет вид \( f(x) = C \), где \( C = 29 \).
  • Строго возрастающая функция может принимать каждое свое значение только один раз.
  • Следовательно, корень \( x = 1 \) является единственным решением уравнения.

Ответ: Доказано, что \( x = 1 \) является единственным корнем, так как функция \( f(x) = 4^x + 25^x \) является строго возрастающей.

2) \( 7^x + 18^x = 25 \)

Шаг 1: Проверка корня \( x = 1 \):

  • Подставим \( x = 1 \) в уравнение: \( 7^1 + 18^1 = 7 + 18 = 25 \).
  • Левая часть равна правой части. Следовательно, \( x = 1 \) является корнем.

Шаг 2: Анализ функции \( g(x) = 7^x + 18^x \):

  • Функция \( g(x) \) является суммой двух показательных функций \( 7^x \) и \( 18^x \).
  • Поскольку основания \( 7 > 1 \) и \( 18 > 1 \), обе функции являются строго возрастающими.
  • Сумма строго возрастающих функций \( g(x) \) также является строго возрастающей функцией на всей числовой оси.

Шаг 3: Вывод об единственности корня:

  • Уравнение имеет вид \( g(x) = C \), где \( C = 25 \).
  • Строго возрастающая функция может принимать свое значение \( C \) не более одного раза.
  • Поскольку найден корень \( x = 1 \), он является единственным решением уравнения.

Ответ: Доказано, что \( x = 1 \) является единственным корнем, так как функция \( g(x) = 7^x + 18^x \) является строго возрастающей.

Что применять при решении

Основное свойство показательных уравнений
Показательное уравнение \( a^x = a^b \), где \( a > 0 \) и \( a \ne 1 \), равносильно алгебраическому уравнению \( x = b \). Это основано на том, что степени с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
\( a^x = a^b \iff x = b \)
Метод замены переменной (сведение к квадратному)
Уравнения вида \( A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x + C = 0 \) решаются путем замены \( y = a^x \). При этом \( y \) всегда должно быть положительным, так как \( a^x > 0 \) для любого \( x \). Уравнение сводится к квадратному \( A y^2 + B y + C = 0 \).
\( A \cdot (a^{2x}) + B \cdot a^x + C = 0 \xrightarrow{y = a^x, y > 0} A y^2 + B y + C = 0 \)
Уравнения, решаемые логарифмированием / делением
Уравнения вида \( a^x = b^x \) (где \( a, b > 0 \)) решаются делением обеих частей на \( b^x \), что приводит к \( (\frac{a}{b})^x = 1 \). Поскольку \( (\frac{a}{b})^0 = 1 \), то решение, если \( a \ne b \), всегда \( x = 0 \). Если же уравнение имеет вид \( a^x = b \) и \( a \ne b \), то решение находится через логарифм: \( x = \log_a b \).
\( a^x = b^x \implies \left(\frac{a}{b}\right)^x = 1 \implies x = 0 \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 12

208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 225 226 227
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.