Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 12 / Задание 209

ГДЗ: Упражнение 209 - § 12 (Показательные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 77, 79, 80, 81
Глава: Глава 3
Параграф: § 12 - Показательные уравнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

209 упражнение:

Решить уравнение:

1) \( 27^x = \frac{1}{3} \)

Шаг 1: Приведем обе части к одному основанию, в данном случае 3:

  • \( 27 = 3^3 \), \( \frac{1}{3} = 3^{-1} \)
  • Уравнение принимает вид: \( (3^3)^x = 3^{-1} \), то есть \( 3^{3x} = 3^{-1} \)

Шаг 2: Приравниваем показатели:

  • \( 3x = -1 \)

Шаг 3: Решаем линейное уравнение:

  • \( x = -\frac{1}{3} \)

Ответ: \( x = -\frac{1}{3} \)

2) \( 400^x = \frac{1}{20} \)

Шаг 1: Приведем обе части к одному основанию, в данном случае 20:

  • \( 400 = 20^2 \), \( \frac{1}{20} = 20^{-1} \)
  • Уравнение принимает вид: \( (20^2)^x = 20^{-1} \), то есть \( 20^{2x} = 20^{-1} \)

Шаг 2: Приравниваем показатели:

  • \( 2x = -1 \)

Шаг 3: Решаем линейное уравнение:

  • \( x = -\frac{1}{2} \)

Ответ: \( x = -\frac{1}{2} \)

3) \( \left(\frac{1}{5}\right)^x = 25 \)

Шаг 1: Приведем обе части к одному основанию, в данном случае 5:

  • \( \frac{1}{5} = 5^{-1} \), \( 25 = 5^2 \)
  • Уравнение принимает вид: \( (5^{-1})^x = 5^2 \), то есть \( 5^{-x} = 5^2 \)

Шаг 2: Приравниваем показатели:

  • \( -x = 2 \)

Шаг 3: Решаем линейное уравнение:

  • \( x = -2 \)

Ответ: \( x = -2 \)

4) \( \left(\frac{1}{3}\right)^x = \frac{1}{81} \)

Шаг 1: Приведем обе части к одному основанию \( \frac{1}{3} \):

  • \( \frac{1}{81} = \left(\frac{1}{3}\right)^4 \)
  • Уравнение принимает вид: \( \left(\frac{1}{3}\right)^x = \left(\frac{1}{3}\right)^4 \)

Шаг 2: Приравниваем показатели:

  • \( x = 4 \)

Ответ: \( x = 4 \)

Что применять при решении

Основное свойство показательных уравнений
Показательное уравнение \( a^x = a^b \), где \( a > 0 \) и \( a \ne 1 \), равносильно алгебраическому уравнению \( x = b \). Это основано на том, что степени с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
\( a^x = a^b \iff x = b \)
Метод замены переменной (сведение к квадратному)
Уравнения вида \( A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x + C = 0 \) решаются путем замены \( y = a^x \). При этом \( y \) всегда должно быть положительным, так как \( a^x > 0 \) для любого \( x \). Уравнение сводится к квадратному \( A y^2 + B y + C = 0 \).
\( A \cdot (a^{2x}) + B \cdot a^x + C = 0 \xrightarrow{y = a^x, y > 0} A y^2 + B y + C = 0 \)
Уравнения, решаемые логарифмированием / делением
Уравнения вида \( a^x = b^x \) (где \( a, b > 0 \)) решаются делением обеих частей на \( b^x \), что приводит к \( (\frac{a}{b})^x = 1 \). Поскольку \( (\frac{a}{b})^0 = 1 \), то решение, если \( a \ne b \), всегда \( x = 0 \). Если же уравнение имеет вид \( a^x = b \) и \( a \ne b \), то решение находится через логарифм: \( x = \log_a b \).
\( a^x = b^x \implies \left(\frac{a}{b}\right)^x = 1 \implies x = 0 \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 12

208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 225 226 227
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.