Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 12 / Задание 214

ГДЗ: Упражнение 214 - § 12 (Показательные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 77, 79, 80, 81
Глава: Глава 3
Параграф: § 12 - Показательные уравнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

214 упражнение:

Решить уравнение:

1) \( 3^{x^2} + x - 12 = 1 \)

Шаг 1: Перепишем уравнение, чтобы степень была изолирована:

  • \( 3^{x^2} = 12 - x \)

Шаг 2: Анализ функций: Рассмотрим функции \( f(x) = 3^{x^2} \) и \( g(x) = 12 - x \). \( f(x) \) – показательная функция, которая быстро возрастает для \( x > 0 \) и является четной. \( g(x) \) – линейная, убывающая функция.

  • Проверим целочисленные значения \( x \):
  • При \( x = 2 \): \( 3^{2^2} = 3^4 = 81 \). \( 12 - 2 = 10 \). \( 81 \ne 10 \).
  • При \( x = 0 \): \( 3^0 = 1 \). \( 12 - 0 = 12 \). \( 1 \ne 12 \).
  • При \( x = -3 \): \( 3^{(-3)^2} = 3^9 = 19683 \). \( 12 - (-3) = 15 \). \( 19683 \ne 15 \).
  • При \( x = -2 \): \( 3^{(-2)^2} = 3^4 = 81 \). \( 12 - (-2) = 14 \). \( 81 \ne 14 \).

Шаг 3: Вероятно, в условии опечатка, и уравнение должно быть \( 3^{x^2+x-12} = 1 \) (как в упр. 215) или \( 3^x + x - 12 = 1 \). Решим исходя из наиболее вероятной опечатки: \( 3^{x^2+x-12} = 1 \).

  • Если \( 3^{x^2+x-12} = 1 \), то \( x^2 + x - 12 = 0 \).
  • По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -1 \), \( x_1 x_2 = -12 \).
  • Корни: \( x_1 = -4 \), \( x_2 = 3 \).

Ответ (исходя из предполагаемой опечатки \( 3^{x^2+x-12} = 1 \)): \( x_1 = -4 \); \( x_2 = 3 \)

2) \( 2^{x^2 - 7x + 10} = 1 \)

Шаг 1: Представим правую часть как степень с основанием 2:

  • \( 2^{x^2 - 7x + 10} = 2^0 \)

Шаг 2: Приравниваем показатели:

  • \( x^2 - 7x + 10 = 0 \)

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение:

  • По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 7 \), \( x_1 x_2 = 10 \)
  • Корни: \( x_1 = 2 \), \( x_2 = 5 \)

Ответ: \( x_1 = 2 \); \( x_2 = 5 \)

3) \( 2^{x-1} = 4 \)

Шаг 1: Приведем правую часть к основанию 2:

  • \( 2^{x-1} = 2^2 \)

Шаг 2: Приравниваем показатели:

  • \( x - 1 = 2 \)

Шаг 3: Решаем линейное уравнение:

  • \( x = 3 \)

Ответ: \( x = 3 \)

4) \( 0,5^x = 4^{x+1} \)

Шаг 1: Приведем обе части к основанию 2 (\( 0,5 = 2^{-1} \), \( 4 = 2^2 \)):

  • \( (2^{-1})^x = (2^2)^{x+1} \)
  • \( 2^{-x} = 2^{2(x+1)} \)
  • \( 2^{-x} = 2^{2x + 2} \)

Шаг 2: Приравниваем показатели:

  • \( -x = 2x + 2 \)

Шаг 3: Решаем линейное уравнение:

  • \( 2 + x + 2x = 0 \)
  • \( 3x = -2 \)
  • \( x = -\frac{2}{3} \)

Ответ: \( x = -\frac{2}{3} \)

Что применять при решении

Основное свойство показательных уравнений
Показательное уравнение \( a^x = a^b \), где \( a > 0 \) и \( a \ne 1 \), равносильно алгебраическому уравнению \( x = b \). Это основано на том, что степени с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
\( a^x = a^b \iff x = b \)
Метод замены переменной (сведение к квадратному)
Уравнения вида \( A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x + C = 0 \) решаются путем замены \( y = a^x \). При этом \( y \) всегда должно быть положительным, так как \( a^x > 0 \) для любого \( x \). Уравнение сводится к квадратному \( A y^2 + B y + C = 0 \).
\( A \cdot (a^{2x}) + B \cdot a^x + C = 0 \xrightarrow{y = a^x, y > 0} A y^2 + B y + C = 0 \)
Уравнения, решаемые логарифмированием / делением
Уравнения вида \( a^x = b^x \) (где \( a, b > 0 \)) решаются делением обеих частей на \( b^x \), что приводит к \( (\frac{a}{b})^x = 1 \). Поскольку \( (\frac{a}{b})^0 = 1 \), то решение, если \( a \ne b \), всегда \( x = 0 \). Если же уравнение имеет вид \( a^x = b \) и \( a \ne b \), то решение находится через логарифм: \( x = \log_a b \).
\( a^x = b^x \implies \left(\frac{a}{b}\right)^x = 1 \implies x = 0 \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 12

208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 225 226 227
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.