Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 12 / Задание 210

ГДЗ: Упражнение 210 - § 12 (Показательные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 77, 79, 80, 81
Глава: Глава 3
Параграф: § 12 - Показательные уравнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

210 упражнение:

Решить уравнение:

1) \( 3 \cdot 9^x = 81 \)

Шаг 1: Разделим обе части на 3 и приведем к основанию 3:

  • \( 9^x = 27 \)
  • \( (3^2)^x = 3^3 \)
  • \( 3^{2x} = 3^3 \)

Шаг 2: Приравниваем показатели:

  • \( 2x = 3 \)
  • \( x = \frac{3}{2} \)

Ответ: \( x = 1,5 \)

2) \( 2 \cdot 4^x = 64 \)

Шаг 1: Разделим обе части на 2 и приведем к основанию 2:

  • \( 4^x = 32 \)
  • \( (2^2)^x = 2^5 \)
  • \( 2^{2x} = 2^5 \)

Шаг 2: Приравниваем показатели:

  • \( 2x = 5 \)
  • \( x = \frac{5}{2} \)

Ответ: \( x = 2,5 \)

3) \( 3^x \cdot 3^{x^2} = 81 \)

Шаг 1: Применим свойство степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и приведем правую часть к основанию 3:

  • \( 3^{x + x^2} = 3^4 \)

Шаг 2: Приравниваем показатели и сводим к квадратному уравнению:

  • \( x^2 + x = 4 \)
  • \( x^2 + x - 4 = 0 \)

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение \( x^2 + x - 4 = 0 \):

  • Дискриминант: \( D = 1^2 - 4(1)(-4) = 1 + 16 = 17 \)
  • Корни: \( x = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2} \)

Ответ: \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} \); \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2} \)

4) \( 0,5^x \cdot 7 \cdot 0,5^{1-2x} = 2 \)

Шаг 1: Объединим степени с одинаковым основанием 0,5:

  • \( 7 \cdot 0,5^{x + (1-2x)} = 2 \)
  • \( 7 \cdot 0,5^{1-x} = 2 \)

Шаг 2: Разделим на 7 и приведем к основанию 2 (\( 0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1} \)):

  • \( 0,5^{1-x} = \frac{2}{7} \)
  • \( (2^{-1})^{1-x} = \frac{2}{7} \)
  • \( 2^{-(1-x)} = \frac{2}{7} \)
  • \( 2^{x-1} = \frac{2}{7} \)

Шаг 3: Выразим \( 2^x \):

  • \( \frac{2^x}{2^1} = \frac{2}{7} \)
  • \( 2^x = 2 \cdot \frac{2}{7} = \frac{4}{7} \)

Шаг 4: Найдем \( x \) с помощью логарифма:

  • \( x = \log_2 \left(\frac{4}{7}\right) \)
  • \( x = \log_2 4 - \log_2 7 \)
  • \( x = 2 - \log_2 7 \)

Ответ: \( x = 2 - \log_2 7 \)

5) \( 0,6^{x+1} \cdot 0,6^{x^2} = 0,6^{2x} \)

Шаг 1: Объединим степени с одинаковым основанием 0,6:

  • \( 0,6^{x+1+x^2} = 0,6^{2x} \)

Шаг 2: Приравниваем показатели и сводим к квадратному уравнению:

  • \( x^2 + x + 1 = 2x \)
  • \( x^2 - x + 1 = 0 \)

Шаг 3: Находим дискриминант:

  • \( D = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 \)

Так как \( D < 0 \), уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Корней нет

6) \( 6^{3x} \cdot \frac{1}{6} = 6^{2x} \)

Шаг 1: Представим \( \frac{1}{6} \) как \( 6^{-1} \) и объединим степени:

  • \( 6^{3x} \cdot 6^{-1} = 6^{2x} \)
  • \( 6^{3x - 1} = 6^{2x} \)

Шаг 2: Приравниваем показатели:

  • \( 3x - 1 = 2x \)

Шаг 3: Решаем линейное уравнение:

  • \( x = 1 \)

Ответ: \( x = 1 \)

Что применять при решении

Основное свойство показательных уравнений
Показательное уравнение \( a^x = a^b \), где \( a > 0 \) и \( a \ne 1 \), равносильно алгебраическому уравнению \( x = b \). Это основано на том, что степени с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
\( a^x = a^b \iff x = b \)
Метод замены переменной (сведение к квадратному)
Уравнения вида \( A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x + C = 0 \) решаются путем замены \( y = a^x \). При этом \( y \) всегда должно быть положительным, так как \( a^x > 0 \) для любого \( x \). Уравнение сводится к квадратному \( A y^2 + B y + C = 0 \).
\( A \cdot (a^{2x}) + B \cdot a^x + C = 0 \xrightarrow{y = a^x, y > 0} A y^2 + B y + C = 0 \)
Уравнения, решаемые логарифмированием / делением
Уравнения вида \( a^x = b^x \) (где \( a, b > 0 \)) решаются делением обеих частей на \( b^x \), что приводит к \( (\frac{a}{b})^x = 1 \). Поскольку \( (\frac{a}{b})^0 = 1 \), то решение, если \( a \ne b \), всегда \( x = 0 \). Если же уравнение имеет вид \( a^x = b \) и \( a \ne b \), то решение находится через логарифм: \( x = \log_a b \).
\( a^x = b^x \implies \left(\frac{a}{b}\right)^x = 1 \implies x = 0 \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 12

208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 225 226 227
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.