Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 12 / Задание 217

ГДЗ: Упражнение 217 - § 12 (Показательные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 77, 79, 80, 81
Глава: Глава 3
Параграф: § 12 - Показательные уравнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

217 упражнение:

Решить уравнение:

1) \( 2^{x^2} = 2^{1/(x-1)} \)

Шаг 1: Приравниваем показатели, учитывая ОДЗ: \( x - 1 \ne 0 \), то есть \( x \ne 1 \).

  • \( x^2 = \frac{1}{x-1} \)

Шаг 2: Избавляемся от знаменателя (умножим на \( x-1 \)):

  • \( x^2 (x-1) = 1 \)
  • \( x^3 - x^2 - 1 = 0 \)

Шаг 3: Ищем рациональные корни среди делителей -1: \( \pm 1 \).
Проверка \( x = 1 \): \( 1^3 - 1^2 - 1 = 1 - 1 - 1 = -1 \ne 0 \). (Не подходит по ОДЗ, но и не является корнем).
Проверка \( x = -1 \): \( (-1)^3 - (-1)^2 - 1 = -1 - 1 - 1 = -3 \ne 0 \).
Для данного кубического уравнения точное решение без численных методов или формулы Кардано нетривиально. Единственный действительный корень \( x_0 \approx 1,466 \) (Корень, полученный по формуле Кардано: \( x = \frac{1}{3} (1 + \sqrt[3]{19 + 3\sqrt{33}} + \sqrt[3]{19 - 3\sqrt{33}}) \)).

Ответ: Единственный действительный корень \( x \approx 1,466 \)

2) \( 5^{0,1x} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{-0,06} = 5^x \)

Шаг 1: Приведем все к основанию 5 (\( \frac{1}{5} = 5^{-1} \)):

  • \( 5^{0,1x} \cdot (5^{-1})^{-0,06} = 5^x \)
  • \( 5^{0,1x} \cdot 5^{0,06} = 5^x \)

Шаг 2: Объединим степени в левой части:

  • \( 5^{0,1x + 0,06} = 5^x \)

Шаг 3: Приравниваем показатели и решаем линейное уравнение:

  • \( 0,1x + 0,06 = x \)
  • \( 0,06 = x - 0,1x \)
  • \( 0,06 = 0,9x \)
  • \( x = \frac{0,06}{0,9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15} \)

Ответ: \( x = \frac{1}{15} \)

3) \( \left(\frac{1}{2}\right)^{1/(x-1)} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x} \)

Шаг 1: Приравниваем показатели, учитывая ОДЗ: \( x \ne 1 \).

  • \( \frac{1}{x-1} = 2x \)

Шаг 2: Избавляемся от знаменателя:

  • \( 1 = 2x(x-1) \)
  • \( 1 = 2x^2 - 2x \)
  • \( 2x^2 - 2x - 1 = 0 \)

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение:

  • Дискриминант: \( D = (-2)^2 - 4(2)(-1) = 4 + 8 = 12 \)
  • Корни: \( x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} \)
  • \( x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} \)

Проверим ОДЗ: \( x \ne 1 \). \( \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \ne 1 \) и \( \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \ne 1 \). Корни подходят.

Ответ: \( x_1 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \); \( x_2 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \)

4) \( 0,7^{\sqrt{x}+12} = 0,7^{2\sqrt{x}} \)

Шаг 1: Приравниваем показатели, учитывая ОДЗ: \( x \ge 0 \).

  • \( \sqrt{x} + 12 = 2\sqrt{x} \)

Шаг 2: Решаем относительно \( \sqrt{x} \):

  • \( 12 = 2\sqrt{x} - \sqrt{x} \)
  • \( 12 = \sqrt{x} \)

Шаг 3: Возводим обе части в квадрат:

  • \( x = 12^2 \)
  • \( x = 144 \)

Проверим ОДЗ: \( 144 \ge 0 \). Корень подходит.

Ответ: \( x = 144 \)

Что применять при решении

Основное свойство показательных уравнений
Показательное уравнение \( a^x = a^b \), где \( a > 0 \) и \( a \ne 1 \), равносильно алгебраическому уравнению \( x = b \). Это основано на том, что степени с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
\( a^x = a^b \iff x = b \)
Метод замены переменной (сведение к квадратному)
Уравнения вида \( A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x + C = 0 \) решаются путем замены \( y = a^x \). При этом \( y \) всегда должно быть положительным, так как \( a^x > 0 \) для любого \( x \). Уравнение сводится к квадратному \( A y^2 + B y + C = 0 \).
\( A \cdot (a^{2x}) + B \cdot a^x + C = 0 \xrightarrow{y = a^x, y > 0} A y^2 + B y + C = 0 \)
Уравнения, решаемые логарифмированием / делением
Уравнения вида \( a^x = b^x \) (где \( a, b > 0 \)) решаются делением обеих частей на \( b^x \), что приводит к \( (\frac{a}{b})^x = 1 \). Поскольку \( (\frac{a}{b})^0 = 1 \), то решение, если \( a \ne b \), всегда \( x = 0 \). Если же уравнение имеет вид \( a^x = b \) и \( a \ne b \), то решение находится через логарифм: \( x = \log_a b \).
\( a^x = b^x \implies \left(\frac{a}{b}\right)^x = 1 \implies x = 0 \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 12

208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 225 226 227
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.