ГДЗ: Упражнение 222 - § 12 (Показательные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Разделим обе части на \( 7^{x+3} \) (так как \( 7^{x+3} > 0 \)):

• \( \frac{3^{x+3}}{7^{x+3}} = 1 \)
• \( \left(\frac{3}{7}\right)^{x+3} = 1 \)

Шаг 2: Так как \( a^0 = 1 \), приравниваем показатель к нулю:

• \( x + 3 = 0 \)
• \( x = -3 \)

Ответ: \( x = -3 \)

Шаг 1: Разделим на 7:

• \( 7^{x^2 - 1} \cdot 5^x = 1 \)

Шаг 2: Логарифмируем обе части по натуральному логарифму:

• \( \ln(7^{x^2 - 1} \cdot 5^x) = \ln 1 \)
• \( \ln(7^{x^2 - 1}) + \ln(5^x) = 0 \)
• \( (x^2 - 1) \ln 7 + x \ln 5 = 0 \)
• \( x^2 \ln 7 + x \ln 5 - \ln 7 = 0 \)

Шаг 3: Решаем как квадратное уравнение относительно \( x \), где \( A = \ln 7 \), \( B = \ln 5 \), \( C = -\ln 7 \):

• Дискриминант: \( D = (\ln 5)^2 - 4(\ln 7)(-\ln 7) = (\ln 5)^2 + 4 (\ln 7)^2 \)
• Корни: \( x = \frac{-\ln 5 \pm \sqrt{(\ln 5)^2 + 4 (\ln 7)^2}}{2 \ln 7} \)

Ответ: \( x = \frac{-\ln 5 \pm \sqrt{(\ln 5)^2 + 4 (\ln 7)^2}}{2 \ln 7} \)

Шаг 1: Логарифмируем обе части (например, по натуральному логарифму):

• \( \ln(3^{x+4}) = \ln(5^{x^2}) \)
• \( (x+4) \ln 3 = x^2 \ln 5 \)

Шаг 2: Сводим к квадратному уравнению, где коэффициенты выражены через логарифмы:

• \( x \ln 3 + 4 \ln 3 = x^2 \ln 5 \)
• \( (\ln 5) x^2 - (\ln 3) x - (4 \ln 3) = 0 \)

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение \( A x^2 + B x + C = 0 \), где \( A = \ln 5 \), \( B = -\ln 3 \), \( C = -4 \ln 3 \):

• Дискриминант: \( D = (-\ln 3)^2 - 4(\ln 5)(-4 \ln 3) = (\ln 3)^2 + 16 (\ln 5)(\ln 3) \)
• Корни: \( x = \frac{\ln 3 \pm \sqrt{(\ln 3)^2 + 16 (\ln 3)(\ln 5)}}{2 \ln 5} \)

Ответ: \( x = \frac{\ln 3 \pm \sqrt{(\ln 3)^2 + 16 (\ln 3)(\ln 5)}}{2 \ln 5} \)

Шаг 1: Разделим обе части на \( 3^{x+1} \):

• \( \left(\frac{2}{3}\right)^{x+1} = 1 \)

Шаг 2: Приравниваем показатель к нулю:

• \( x + 1 = 0 \)
• \( x = -1 \)

Ответ: \( x = -1 \)