Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 12 / Задание 221

ГДЗ: Упражнение 221 - § 12 (Показательные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 77, 79, 80, 81
Глава: Глава 3
Параграф: § 12 - Показательные уравнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

221 упражнение:

Решить уравнение:

1) \( 2^{|x-2|} = 2^{2x+4} \)

Шаг 1: Приравниваем показатели:

  • \( |x-2| = 2x + 4 \)

Шаг 2: Условие для существования решения: \( 2x + 4 \ge 0 \), то есть \( x \ge -2 \).

Шаг 3: Раскрываем модуль:

  • Случай 1: \( x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2 \).
    \( x - 2 = 2x + 4 \implies -2 - 4 = 2x - x \implies x = -6 \).
    \( x = -6 \) не удовлетворяет условию \( x \ge 2 \). Решений нет.
  • Случай 2: \( x - 2 < 0 \implies x < 2 \).
    \( -(x - 2) = 2x + 4 \implies -x + 2 = 2x + 4 \implies 2 - 4 = 3x \implies 3x = -2 \implies x = -\frac{2}{3} \).
    \( x = -\frac{2}{3} \) удовлетворяет условиям \( x < 2 \) и \( x \ge -2 \). Решение подходит.

Ответ: \( x = -\frac{2}{3} \)

2) \( 1,5^{5-x} = 1,5^{|x-1|} \)

Шаг 1: Приравниваем показатели:

  • \( 5 - x = |x - 1| \)

Шаг 2: Условие для существования решения: \( 5 - x \ge 0 \), то есть \( x \le 5 \).

Шаг 3: Раскрываем модуль:

  • Случай 1: \( x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1 \).
    \( 5 - x = x - 1 \implies 6 = 2x \implies x = 3 \).
    \( x = 3 \) удовлетворяет условиям \( 1 \le 3 \le 5 \). Решение подходит.
  • Случай 2: \( x - 1 < 0 \implies x < 1 \).
    \( 5 - x = -(x - 1) \implies 5 - x = -x + 1 \implies 5 = 1 \).
    Это неверное равенство. Решений нет.

Ответ: \( x = 3 \)

3) \( 3^{|x+1|} = 3^{2|x-1|} \)

Шаг 1: Приравниваем показатели:

  • \( |x+1| = 2|x-1| \)

Шаг 2: Возводим обе части в квадрат, чтобы избавиться от модулей (или рассматриваем 3 интервала):

  • \( (x+1)^2 = (2(x-1))^2 \)
  • \( x^2 + 2x + 1 = 4(x^2 - 2x + 1) \)
  • \( x^2 + 2x + 1 = 4x^2 - 8x + 4 \)

Шаг 3: Сводим к квадратному уравнению:

  • \( 3x^2 - 10x + 3 = 0 \)

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение:

  • Дискриминант: \( D = (-10)^2 - 4(3)(3) = 100 - 36 = 64 \)
  • Корни: \( x = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{10 \pm 8}{6} \)
  • \( x_1 = \frac{18}{6} = 3 \)
  • \( x_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)

Ответ: \( x_1 = 3 \); \( x_2 = \frac{1}{3} \)

4) \( 3^{|x|}= 3^{|2x-1|} \)

Шаг 1: Приравниваем показатели:

  • \( |x| = |2x - 1| \)

Шаг 2: Решаем, используя свойство \( |a| = |b| \iff a = b \) или \( a = -b \):

  • Случай 1: \( x = 2x - 1 \implies 1 = 2x - x \implies x_1 = 1 \)
  • Случай 2: \( x = -(2x - 1) \implies x = -2x + 1 \implies 3x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{3} \)

Ответ: \( x_1 = 1 \); \( x_2 = \frac{1}{3} \)

Что применять при решении

Основное свойство показательных уравнений
Показательное уравнение \( a^x = a^b \), где \( a > 0 \) и \( a \ne 1 \), равносильно алгебраическому уравнению \( x = b \). Это основано на том, что степени с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
\( a^x = a^b \iff x = b \)
Метод замены переменной (сведение к квадратному)
Уравнения вида \( A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x + C = 0 \) решаются путем замены \( y = a^x \). При этом \( y \) всегда должно быть положительным, так как \( a^x > 0 \) для любого \( x \). Уравнение сводится к квадратному \( A y^2 + B y + C = 0 \).
\( A \cdot (a^{2x}) + B \cdot a^x + C = 0 \xrightarrow{y = a^x, y > 0} A y^2 + B y + C = 0 \)
Уравнения, решаемые логарифмированием / делением
Уравнения вида \( a^x = b^x \) (где \( a, b > 0 \)) решаются делением обеих частей на \( b^x \), что приводит к \( (\frac{a}{b})^x = 1 \). Поскольку \( (\frac{a}{b})^0 = 1 \), то решение, если \( a \ne b \), всегда \( x = 0 \). Если же уравнение имеет вид \( a^x = b \) и \( a \ne b \), то решение находится через логарифм: \( x = \log_a b \).
\( a^x = b^x \implies \left(\frac{a}{b}\right)^x = 1 \implies x = 0 \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 12

208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 225 226 227
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.