Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 12 / Задание 211

ГДЗ: Упражнение 211 - § 12 (Показательные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 77, 79, 80, 81
Глава: Глава 3
Параграф: § 12 - Показательные уравнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

211 упражнение:

Решить уравнение:

1) \( 3^{2x-1} + 3^{2x} = 108 \)

Шаг 1: Разложим степени и вынесем наименьшую степень \( 3^{2x-1} \) за скобки:

  • \( 3^{2x-1} + 3^{2x-1} \cdot 3^1 = 108 \)
  • \( 3^{2x-1} (1 + 3) = 108 \)
  • \( 3^{2x-1} \cdot 4 = 108 \)

Шаг 2: Разделим на 4 и приведем к основанию 3:

  • \( 3^{2x-1} = 27 \)
  • \( 3^{2x-1} = 3^3 \)

Шаг 3: Приравниваем показатели:

  • \( 2x - 1 = 3 \)
  • \( 2x = 4 \)
  • \( x = 2 \)

Ответ: \( x = 2 \)

2) \( 2^{3x+2} - 2^{3x-2} = 30 \)

Шаг 1: Разложим степени и вынесем наименьшую степень \( 2^{3x-2} \) за скобки:

  • \( 2^{3x-2} \cdot 2^4 - 2^{3x-2} = 30 \)
  • \( 2^{3x-2} (2^4 - 1) = 30 \)
  • \( 2^{3x-2} (16 - 1) = 30 \)
  • \( 2^{3x-2} \cdot 15 = 30 \)

Шаг 2: Разделим на 15 и приведем к основанию 2:

  • \( 2^{3x-2} = 2 \)
  • \( 2^{3x-2} = 2^1 \)

Шаг 3: Приравниваем показатели:

  • \( 3x - 2 = 1 \)
  • \( 3x = 3 \)
  • \( x = 1 \)

Ответ: \( x = 1 \)

3) \( 2^{x+1} + 2^{x-1} + 2^x = 28 \)

Шаг 1: Разложим степени и вынесем наименьшую степень \( 2^{x-1} \) за скобки:

  • \( 2^{x-1} \cdot 2^2 + 2^{x-1} + 2^{x-1} \cdot 2^1 = 28 \)
  • \( 2^{x-1} (4 + 1 + 2) = 28 \)
  • \( 2^{x-1} \cdot 7 = 28 \)

Шаг 2: Разделим на 7 и приведем к основанию 2:

  • \( 2^{x-1} = 4 \)
  • \( 2^{x-1} = 2^2 \)

Шаг 3: Приравниваем показатели:

  • \( x - 1 = 2 \)
  • \( x = 3 \)

Ответ: \( x = 3 \)

4) \( 3^{x+2} - 3^x + 3^{x+1} = 63 \)

Шаг 1: Разложим степени и вынесем наименьшую степень \( 3^x \) за скобки:

  • \( 3^x \cdot 3^2 - 3^x + 3^x \cdot 3^1 = 63 \)
  • \( 3^x (9 - 1 + 3) = 63 \)
  • \( 3^x \cdot 11 = 63 \)

Шаг 2: Разделим на 11. Уравнение имеет вид \( 3^x = \frac{63}{11} \):

  • Так как \(\frac{63}{11}\) не является целой степенью 3, используем логарифм.
  • \( x = \log_3 \left(\frac{63}{11}\right) \)

Ответ: \( x = \log_3 \left(\frac{63}{11}\right) \)

Что применять при решении

Основное свойство показательных уравнений
Показательное уравнение \( a^x = a^b \), где \( a > 0 \) и \( a \ne 1 \), равносильно алгебраическому уравнению \( x = b \). Это основано на том, что степени с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
\( a^x = a^b \iff x = b \)
Метод замены переменной (сведение к квадратному)
Уравнения вида \( A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x + C = 0 \) решаются путем замены \( y = a^x \). При этом \( y \) всегда должно быть положительным, так как \( a^x > 0 \) для любого \( x \). Уравнение сводится к квадратному \( A y^2 + B y + C = 0 \).
\( A \cdot (a^{2x}) + B \cdot a^x + C = 0 \xrightarrow{y = a^x, y > 0} A y^2 + B y + C = 0 \)
Уравнения, решаемые логарифмированием / делением
Уравнения вида \( a^x = b^x \) (где \( a, b > 0 \)) решаются делением обеих частей на \( b^x \), что приводит к \( (\frac{a}{b})^x = 1 \). Поскольку \( (\frac{a}{b})^0 = 1 \), то решение, если \( a \ne b \), всегда \( x = 0 \). Если же уравнение имеет вид \( a^x = b \) и \( a \ne b \), то решение находится через логарифм: \( x = \log_a b \).
\( a^x = b^x \implies \left(\frac{a}{b}\right)^x = 1 \implies x = 0 \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 12

208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 225 226 227
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.