ГДЗ: Упражнение 225 - § 12 (Показательные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Преобразуем уравнение, используя свойство \( 3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 \):

• \( (3^x)^2 + 6 = 2 \cdot 3^x \cdot 3 \)
• \( (3^x)^2 - 6 \cdot 3^x + 6 = 0 \)

Шаг 2: Введем замену: \( y = 3^x \), где \( y > 0 \).

• \( y^2 - 6y + 6 = 0 \)

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение:

• Дискриминант: \( D = (-6)^2 - 4(1)(6) = 36 - 24 = 12 \)
• Корни: \( y = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3} \)

Шаг 4: Проверяем положительность: \( \sqrt{3} \approx 1,73 \). Оба корня положительны.

• \( y_1 = 3 + \sqrt{3} \)
• \( y_2 = 3 - \sqrt{3} \)

Шаг 5: Выполняем обратную замену:

• \( 3^x = 3 + \sqrt{3} \implies x_1 = \log_3 (3 + \sqrt{3}) \)
• \( 3^x = 3 - \sqrt{3} \implies x_2 = \log_3 (3 - \sqrt{3}) \)

Ответ: \( x_1 = \log_3 (3 + \sqrt{3}) \); \( x_2 = \log_3 (3 - \sqrt{3}) \)

Шаг 1: Перенесем все в левую часть и приведем к виду квадратного уравнения:

• \( (5^x)^2 - 4 \cdot 5^x + 4 = 0 \)

Шаг 2: Введем замену: \( y = 5^x \), где \( y > 0 \).

• \( y^2 - 4y + 4 = 0 \)

Шаг 3: Уравнение является полным квадратом:

• \( (y - 2)^2 = 0 \)
• Корень: \( y = 2 \). Корень положительный.

Шаг 4: Выполняем обратную замену:

• \( 5^x = 2 \implies x = \log_5 2 \)

Ответ: \( x = \log_5 2 \)

Шаг 1: Разделим обе части на \( 3^{x^2} \):

• \( \left(\frac{2}{3}\right)^{x^2} = 1 \)

Шаг 2: Приравниваем показатель к нулю:

• \( x^2 = 0 \)
• \( x = 0 \)

Ответ: \( x = 0 \)

Шаг 1: Приведем обе части к основанию 3, учитывая ОДЗ: \( x - 1 \ge 0 \), то есть \( x \ge 1 \).

• \( 9 = 3^2 \), \( \frac{1}{27} = 3^{-3} \)
• \( (3^2)^{\sqrt{x-1}} = 3^{-3} \)
• \( 3^{2\sqrt{x-1}} = 3^{-3} \)

Шаг 2: Приравниваем показатели:

• \( 2\sqrt{x-1} = -3 \)

Шаг 3: Так как арифметический корень \( \sqrt{x-1} \ge 0 \), то левая часть \( 2\sqrt{x-1} \ge 0 \). Правая часть равна -3, что отрицательно. Равенство невозможно.

Ответ: Корней нет